Uma partícula se desloca em um plano x-y, de tal modo que a sua posição é dada por: r(t)=(4 b+^3) tildei+(c+2) j. Sabendo que b e c são constantes positivas, Determine:
(d) O tempo para quando o vetor velocidade faz um ângulo de 45^circ com o eixo OXt.

Passo 1

Então, a gente tem uma partícula se movendo no plano com a posição dada pela função . A matéria envolvida aqui é o cálculo vetorial, especificamente como encontrar o vetor velocidade a partir da posição e determinar o tempo em que esse vetor faz um ângulo de com o eixo . Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da posição para obter a velocidade e usar trigonometria para encontrar o tempo desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade v(t) = dr(t)dt = ddt(4bt^3 i + (c + 2) j) . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivando v(t) = 12bt^2 i + 0 j = 12bt^2 i :
Derivando cada componente:

Passo 3

Agora, queremos que o vetor velocidade faça um ângulo de tan(theta) = vyvx com o eixo tan(45^circ) = 1 = vyvx . Sabemos que o ângulo que um vetor faz com o eixo é dado por:
Como , temos:

Passo 4

De 0 = 12bt^2 , concluímos que . Olhando para o nosso vetor velocidade , percebemos que a componente é zero. Isso significa que:
Para que isso seja verdade, . Portanto, o único momento em que o vetor velocidade faz um ângulo de com o eixo é no instante inicial .

Resposta

O tempo para quando o vetor velocidade faz um ângulo de com o eixo é .

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