Uma partícula se desloca em um plano
, de tal modo que a sua posição é dada por:
. Sabendo que b e c são constantes positivas, Determine:
(d)
tempo para quando o vetor velocidade faz um ângulo de
com o eixo Oxt.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata do movimento de uma partícula no plano
. A posição dela é dada pela função
, onde
e
são constantes positivas. A gente precisa encontrar o tempo
em que o vetor velocidade da partícula faz um ângulo de
com o eixo
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o vetor velocidade a partir da posição e como relacionar esse vetor com o ângulo que ele forma com o eixo horizontal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. O vetor velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de
:
Derivando em relação a
:
Como
e
são constantes, a derivada da segunda componente é zero. Então:
Então, o vetor velocidade é:
Passo 3
Agora, queremos encontrar o tempo
em que o vetor velocidade faz um ângulo de
com o eixo
. Para isso, vamos usar a definição do ângulo entre dois vetores.
O ângulo
que o vetor velocidade faz com o eixo
pode ser encontrado usando a tangente do ângulo:
No nosso caso, a componente
do vetor velocidade é
, e a componente
é
. Então:
Isso significa que o vetor velocidade está sempre alinhado com o eixo
, fazendo um ângulo de
, nunca
. Porém, se considerarmos a posição ou outro vetor que envolva ambas as direções
e
, poderíamos ter um ângulo diferente. No contexto atual, com o vetor velocidade sendo somente ao longo do eixo
, não há tempo
em que ele faz um ângulo de
com o eixo.
Resposta
Não existe um tempo
em que o vetor velocidade da partícula faz um ângulo de
com o eixo
, pois o vetor velocidade está sempre alinhado com o eixo
.