Uma partícula se desloca em um plano x-y, de tal modo que a sua posição é dada por: r(t)=(4 b t^3) tildeimath+(c+2) j. Sabendo que b e c são constantes positivas, Determine:
(d) O tempo para quando o vetor velocidade faz um ângulo de 45^circ com o eixo Oxt.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata do movimento de uma partícula no plano x-y. A posição dela é dada pela função r(t)=(4 b t^3) tildeimath+(c+2) j, onde b e c são constantes positivas. A gente precisa encontrar o tempo t em que o vetor velocidade da partícula faz um ângulo de 45^circ com o eixo Ox. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o vetor velocidade a partir da posição e como relacionar esse vetor com o ângulo que ele forma com o eixo horizontal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. O vetor velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de r(t):
r(t) = (4 b t^3) tildeimath + (c + 2) j
Derivando em relação a t:
v(t) = dr(t)dt = (ddt(4 b t^3)) tildeimath + (ddt(c + 2)) j
Como c e 2 são constantes, a derivada da segunda componente é zero. Então:
v(t) = 12 b t^2 tildeimath + 0 j = 12 b t^2 tildeimath
Então, o vetor velocidade é:
v(t) = 12 b t^2 tildeimath

Passo 3

Agora, queremos encontrar o tempo t em que o vetor velocidade faz um ângulo de 45^circ com o eixo Ox. Para isso, vamos usar a definição do ângulo entre dois vetores.
O ângulo theta que o vetor velocidade faz com o eixo Ox pode ser encontrado usando a tangente do ângulo:
tan(theta) = Componente y do vetor velocidadeComponente x do vetor velocidade
No nosso caso, a componente y do vetor velocidade é 0, e a componente x é 12 b t^2. Então:
tan(theta) = 012 b t^2 = 0
Isso significa que o vetor velocidade está sempre alinhado com o eixo Ox, fazendo um ângulo de 0^circ, nunca 45^circ. Porém, se considerarmos a posição ou outro vetor que envolva ambas as direções x e y, poderíamos ter um ângulo diferente. No contexto atual, com o vetor velocidade sendo somente ao longo do eixo Ox, não há tempo t em que ele faz um ângulo de 45^circ com o eixo.

Resposta

Não existe um tempo t em que o vetor velocidade da partícula faz um ângulo de 45^circ com o eixo Ox, pois o vetor velocidade está sempre alinhado com o eixo Ox.

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