Uma partícula se desloca em um plano , de tal modo que a sua posição é dada por: . Sabendo que b e c são constantes positivas, Determine:
(d) tempo para quando o vetor velocidade faz um ângulo de com o eixo Oxt.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata do movimento de uma partícula no plano . A posição dela é dada pela função , onde e são constantes positivas. A gente precisa encontrar o tempo em que o vetor velocidade da partícula faz um ângulo de com o eixo . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o vetor velocidade a partir da posição e como relacionar esse vetor com o ângulo que ele forma com o eixo horizontal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. O vetor velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de :
Derivando em relação a :
Como e são constantes, a derivada da segunda componente é zero. Então:
Então, o vetor velocidade é:

Passo 3

Agora, queremos encontrar o tempo em que o vetor velocidade faz um ângulo de com o eixo . Para isso, vamos usar a definição do ângulo entre dois vetores.
O ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo pode ser encontrado usando a tangente do ângulo:
No nosso caso, a componente do vetor velocidade é , e a componente é . Então:
Isso significa que o vetor velocidade está sempre alinhado com o eixo , fazendo um ângulo de , nunca . Porém, se considerarmos a posição ou outro vetor que envolva ambas as direções e , poderíamos ter um ângulo diferente. No contexto atual, com o vetor velocidade sendo somente ao longo do eixo , não há tempo em que ele faz um ângulo de com o eixo.

Resposta

Não existe um tempo em que o vetor velocidade da partícula faz um ângulo de com o eixo , pois o vetor velocidade está sempre alinhado com o eixo .

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Uma partícula se desloca em um plano , de tal modo que a sua posição é dada por: . Sabendo que b e c são constantes positivas, Determine:
(b) O vetor aceleração em um instante qualquer;
Uma partícula se desloca em um plano , de tal modo que a sua velocidade é dada por: j. Determine:
(d) O tempo em que o componente vertical do vetor aceleração é zero.
Um projétil é lançado do solo com velocidade inicial igual a e um ângulo inicial . Desprezando a resistência do ar, determine:
© O tempo que o projétil leva para atingir a altura máxima de sua trajetória;
Descendo uma montanha em alta velocidade um esquiador perde o controle do seu equipamento e se projeta para fora da borda de um penhasco. No ponto exato da borda, sua velocidade possui módulo igual a e faz um ângulo de com a horizontal. Desprezando a resistência do ar, determine:
© O vetor velocidade depois de 1,5 s;