Uma partícula se desloca em um plano
, de tal modo que a sua posição é dada por:
. Sabendo que b e c são constantes positivas, Determine:
(d)
tempo para quando o vetor velocidade faz um ângulo de
com o eixo Oxt.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata do movimento de uma partícula no plano
. A posição dela é dada pela função
, onde
e
são constantes positivas. A gente precisa encontrar o tempo
em que o vetor velocidade da partícula faz um ângulo de
com o eixo
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o vetor velocidade a partir da posição e como relacionar esse vetor com o ângulo que ele forma com o eixo horizontal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. O vetor velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de
:
Derivando em relação a
:
Como
e
são constantes, a derivada da segunda componente é zero. Então:
Então, o vetor velocidade é:
Passo 3
Agora, queremos encontrar o tempo
em que o vetor velocidade faz um ângulo de
com o eixo
. Para isso, vamos usar a definição do ângulo entre dois vetores.
O ângulo
que o vetor velocidade faz com o eixo
pode ser encontrado usando a tangente do ângulo:
No nosso caso, a componente
do vetor velocidade é
, e a componente
é
. Então:
Isso significa que o vetor velocidade está sempre alinhado com o eixo
, fazendo um ângulo de
, nunca
. Porém, se considerarmos a posição ou outro vetor que envolva ambas as direções
e
, poderíamos ter um ângulo diferente. No contexto atual, com o vetor velocidade sendo somente ao longo do eixo
, não há tempo
em que ele faz um ângulo de
com o eixo.
Resposta
Não existe um tempo
em que o vetor velocidade da partícula faz um ângulo de
com o eixo
, pois o vetor velocidade está sempre alinhado com o eixo
.
Exercícios relacionados
Uma partícula se desloca em um plano
, de tal modo que a sua posição é dada por:
. Sabendo que b e c são constantes positivas, Determine:
(b) O vetor aceleração em um instante qualquer;
(b) O vetor aceleração em um instante qualquer;
Uma partícula se desloca em um plano
, de tal modo que a sua velocidade é dada por:
j. Determine:
(d) O tempo em que o componente vertical do vetor aceleração é zero.
(d) O tempo em que o componente vertical do vetor aceleração é zero.
Um projétil é lançado do solo com velocidade inicial igual a
e um ângulo inicial
. Desprezando a resistência do ar, determine:
© O tempo que o projétil leva para atingir a altura máxima de sua trajetória;
© O tempo que o projétil leva para atingir a altura máxima de sua trajetória;
Descendo uma montanha em alta velocidade um esquiador perde o controle do seu equipamento e se projeta para fora da borda de um penhasco. No ponto exato da borda, sua velocidade possui módulo igual a
e faz um ângulo de
com a horizontal. Desprezando a resistência do ar, determine:
© O vetor velocidade depois de 1,5 s;
© O vetor velocidade depois de 1,5 s;