Uma partícula se desloca em um plano x-y, de tal modo que a sua posição é dada por: r(t)=(4 b t^3) tildeimath+(c+2) j. Sabendo que b e c são constantes positivas, Determine:
(b) O vetor aceleração em um instante qualquer;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move no plano com a posição dada por . Aqui, e são constantes positivas. Precisamos encontrar o vetor aceleração dessa partícula em qualquer instante .
Para resolver isso, vamos lembrar que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, precisamos derivar a função posição duas vezes para obter a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula, que é a primeira derivada da posição em relação ao tempo. A função posição é:
r(t) = (4b t^3) , imath + (c + 2) , jmath
Derivando em relação a v(t) = dr(t)dt = ddt(4b t^3) , imath + ddt(c + 2) , jmath :
v(t) = 12b t^2 , imath + 0 , jmath = 12b t^2 , imath
Como é uma constante, sua derivada em relação a é zero. Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração, que é a segunda derivada da posição ou a primeira derivada da velocidade em relação ao tempo. Já temos a velocidade:
v(t) = 12b t^2 , imath
Derivando em relação a a(t) = dv(t)dt = ddt(12b t^2) , imath :
a(t) = 24b t , imath

Resposta

O vetor aceleração em qualquer instante é .

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