Uma partícula se desloca em um plano x-y, de tal modo que a sua posição é dada por: r(t)=(4 b t^3) tildeimath+(c+2) j. Sabendo que b e c são constantes positivas, Determine:
(a) O vetor velocidade em um instante qualquer;

Passo 1

Então, temos uma partícula se movendo no plano x-y com a posição dada por r(t) = (4bt^3) tildeimath + (c+2) tildejmath. A gente precisa descobrir qual é o vetor velocidade dela em qualquer instante de tempo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a derivada do vetor posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor velocidade v(t) é simplesmente a derivada do vetor posição r(t) em relação ao tempo t. Ou seja:
v(t) = dr(t)dt

Passo 3

Agora, vamos derivar cada componente de r(t):
  • Componente x: A posição em x é 4bt^3. A derivada disso em relação a t é:
    ddt(4bt^3) = 12bt^2
  • Componente y: A posição em y é c + 2, que é uma constante. A derivada de uma constante é zero:
    ddt(c + 2) = 0

Resposta

Então, juntando as derivadas das componentes, o vetor velocidade em qualquer instante t é:
v(t) = 12bt^2 tildeimath

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