Uma partícula se desloca em um plano x-y, de tal modo que a sua posição é dada por: r(t)=(4 b t^3) tildeimath+(c+2) j. Sabendo que b e c são constantes positivas, Determine:
© O vetor aceleração média entre t=0 e t=1 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma partícula que se move no plano com a posição dada por . O que a gente precisa encontrar é o vetor aceleração média dessa partícula entre e segundo. Para isso, vamos usar conceitos de Cinemática, especificamente sobre como calcular a aceleração média a partir das velocidades iniciais e finais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração média ( a = v(t2) - v(t1)t2 - t1 ) é dada pela variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo. Ou seja:
Aqui, e segundo.

Passo 3

Para encontrar a aceleração média, precisamos das velocidades nos instantes v(t) = dr(t)dt = ddt(4bt^3),i + ddt(c+2),j e . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de em relação a :

Passo 4

Calculando as derivadas:
ddt(4bt^3) = 12bt^2
ddt(c+2) = 0
Então, a velocidade é:
v(t) = 12bt^2,i + 0,j = 12bt^2,i

Passo 5

Agora, vamos calcular as velocidades nos tempos v(0) = 12b(0)^2,i = 0,i e v(1) = 12b(1)^2,i = 12b,i :

Passo 6

Substituindo na fórmula da aceleração média:
a = v(1) - v(0)1 - 0 = 12b,i - 0,i1 = 12b,i

Resposta

A aceleração média da partícula entre e segundo é .

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