Um ponto move-se de acordo com as seguintes equações de movimento:
x(t)=3 t^2+3 t^3 ; y(t)=5 t^2-4 t^2 ; z(t)=10 t-6 t^3, onde x, y e z são medidos em metros e +em segundos. Ache:
(b) o vetor aceleração em qualquer instante t;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto que se move no espaço seguindo as equações de movimento:
x(t) = 3 t^2 + 3 t^3
y(t) = 5 t^2 - 4 t^2
z(t) = 10 t - 6 t^3
Nosso objetivo aqui é encontrar o vetor aceleração desse ponto em qualquer instante . Para isso, vamos precisar entender de cálculo, especificamente de derivadas, que nos ajudam a encontrar velocidade e aceleração a partir das posições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, para encontrar a aceleração, precisamos derivar as funções de posição duas vezes.
Então, nosso plano é:
  1. Derivar , e para encontrar as velocidades.
  2. Derivar essas velocidades para obter as acelerações.

Passo 3

Vamos começar encontrando as velocidades em cada direção.
Derivando vx(t) = dxdt = ddt(3 t^2 + 3 t^3) = 6 t + 9 t^2 :
y(t) = 5 t^2 - 4 t^2 = t^2 (simplificando)
Derivando vy(t) = dydt = ddt(t^2) = 2 t :
vz(t) = dzdt = ddt(10 t - 6 t^3) = 10 - 18 t^2
Derivando :

Passo 4

Agora, vamos encontrar as acelerações derivando as velocidades.
Derivando ax(t) = dvxdt = ddt(6 t + 9 t^2) = 6 + 18 t :
ay(t) = dvydt = ddt(2 t) = 2
Derivando az(t) = dvzdt = ddt(10 - 18 t^2) = -36 t :
Derivando :

Passo 5

Agora que temos as componentes da aceleração em cada direção, podemos montar o vetor aceleração completo. O vetor aceleração a(t) = ( ax(t),, ay(t),, az(t) ) = ( 6 + 18 t,; 2,; -36 t ) é dado por:

Resposta

O vetor aceleração em qualquer instante a(t) = ( 6 + 18 t,; 2,; -36 t ) , m/s^2 é:

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