Uma partícula se desloca em um plano x-y, de tal modo que a sua velocidade é dada por: V(t)=(6 t+2+2) imath+2 t^2 j. Determine:
(e) O vetor posição para o instante t=1 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos diz que uma partícula está se movendo no plano x-y com uma velocidade dada pela equação . O conteúdo que vamos usar aqui é o conceito básico de integração, que nos ajuda a encontrar a posição a partir da velocidade. Precisamos integrar as componentes da velocidade em relação ao tempo para achar o vetor posição no instante segundo.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as componentes da velocidade. Temos:
Vx(t) = 6t + 4
Vy(t) = 2t^2
Para encontrar a posição, vamos integrar cada componente da velocidade em relação ao tempo.

Passo 3

Integrando x(t) = integral Vx(t) , dt = integral (6t + 4) , dt :
x(t) = 3t^2 + 4t + Cx
Onde é a constante de integração para a componente x.

Passo 4

Integrando y(t) = integral Vy(t) , dt = integral 2t^2 , dt :
y(t) = 23t^3 + Cy
Onde é a constante de integração para a componente y.

Passo 5

Assumindo que a posição inicial da partícula no tempo x(0) = 3(0)^2 + 4(0) + Cx = 0 Rightarrow Cx = 0 é a origem y(0) = 23(0)^3 + Cy = 0 Rightarrow Cy = 0 , podemos encontrar as constantes de integração:

Passo 6

Agora, temos as equações da posição sem as constantes:
x(t) = 3t^2 + 4t
y(t) = 23t^3

Passo 7

Vamos calcular a posição no instante x(1) = 3(1)^2 + 4(1) = 3 + 4 = 7 segundo:
y(1) = 23(1)^3 = 23

Resposta

O vetor posição para o instante O(1) = 7,imath + 23,jmath s é:

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