Um ponto move-se de acordo com as seguintes equações de movimento:
x(t)=3 t^2+3 t^3 ; y(t)=5 t^2-4 t^2 ; z(t)=10 t-6 t^3, onde x, y e z são medidos em metros e +em segundos. Ache:
(a) o vetor velocidade em qualquer instante +;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto que se move no espaço com as equações de movimento dadas por , e . A matéria que a gente vai usar aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivadas para encontrar a velocidade do ponto em qualquer instante .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o vetor velocidade. A velocidade de um ponto em movimento é a derivada da posição em relação ao tempo. No espaço tridimensional, isso significa que a velocidade tem três componentes: , e , que são as derivadas de , e respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de vx(t) = dxdt = 6t + 9t^2 em relação a . Usando a regra de potência, a derivada de é .

Passo 4

Agora, vamos derivar y(t) = (5t^2 - 4t^2) = t^2 . Primeiro, simplificamos a expressão:
vy(t) = dydt = 2t
Então, derivando em relação a :

Passo 5

Por fim, derivamos vz(t) = dzdt = 10 - 18t^2 :

Resposta

O vetor velocidade em qualquer instante v(t) = (6t + 9t^2)i + (2t)j + (10 - 18t^2)k é:

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