Um ponto move-se de acordo com as seguintes equações de movimento:
, onde
e
são medidos em metros e
segundos. Ache:
(a) o vetor velocidade em qualquer instante +;
(a) o vetor velocidade em qualquer instante +;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto que se move no espaço com as equações de movimento dadas por
,
e
. A matéria que a gente vai usar aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivadas para encontrar a velocidade do ponto em qualquer instante
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o vetor velocidade. A velocidade de um ponto em movimento é a derivada da posição em relação ao tempo. No espaço tridimensional, isso significa que a velocidade tem três componentes:
,
e
, que são as derivadas de
,
e
respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Usando a regra de potência, a derivada de
é
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
. Primeiro, simplificamos a expressão:
Então, derivando em relação a
:
Passo 5
Por fim, derivamos
:
Resposta
O vetor velocidade em qualquer instante
é:
Exercícios relacionados
Uma partícula move-se de forma que suas coordenadas da posição, em metros, em função do tempot, em segundos, são dadas por:
Determine:
(a) No instante
, qual o vetor posição?
Descendo uma montanha em alta velocidade um esquiador perde o controle do seu equipamento e se projeta para fora da borda de um penhasco. No ponto exato da borda, sua velocidade possui módulo igual a
e faz um ângulo de
com a horizontal. Desprezando a resistência do ar, determine:
© O vetor velocidade depois de 1,5 s;
© O vetor velocidade depois de 1,5 s;
Uma partícula se desloca em um plano
, de tal modo que a sua velocidade é dada por:
j. Determine:
(e) vetor posição para o instante
.
(e)
Um corpo A, de massa
é lançado para cima da superfície da Terra no instante
com a velocidade de
. Um segundo depois um corpo
, também de massa
, é lançado de um ponto a uma altura de
. Pede-se:
(a) Quando os dois corpos se encontram?
(a) Quando os dois corpos se encontram?