Um ponto move-se de acordo com as seguintes equações de movimento:
, onde e são medidos em metros e segundos. Ache:
(a) o vetor velocidade em qualquer instante +;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto que se move no espaço com as equações de movimento dadas por , e . A matéria que a gente vai usar aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivadas para encontrar a velocidade do ponto em qualquer instante .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o vetor velocidade. A velocidade de um ponto em movimento é a derivada da posição em relação ao tempo. No espaço tridimensional, isso significa que a velocidade tem três componentes: , e , que são as derivadas de , e respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a . Usando a regra de potência, a derivada de é .

Passo 4

Agora, vamos derivar . Primeiro, simplificamos a expressão:
Então, derivando em relação a :

Passo 5

Por fim, derivamos :

Resposta

O vetor velocidade em qualquer instante é:

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Uma partícula move-se de forma que suas coordenadas da posição, em metros, em função do tempot, em segundos, são dadas por:
Determine:
(a) No instante , qual o vetor posição?
Descendo uma montanha em alta velocidade um esquiador perde o controle do seu equipamento e se projeta para fora da borda de um penhasco. No ponto exato da borda, sua velocidade possui módulo igual a e faz um ângulo de com a horizontal. Desprezando a resistência do ar, determine:
© O vetor velocidade depois de 1,5 s;
Uma partícula se desloca em um plano , de tal modo que a sua velocidade é dada por: j. Determine:
(e) vetor posição para o instante .
Um corpo A, de massa é lançado para cima da superfície da Terra no instante com a velocidade de . Um segundo depois um corpo , também de massa , é lançado de um ponto a uma altura de . Pede-se:
(a) Quando os dois corpos se encontram?