Uma partícula se desloca, no sentido anti-horário, sobre uma trajetória circular de raio
. No sistema SI, a magnitude da velocidade da partícula em função do tempo é dada por
. Determine, em coordenadas polares, no instante de tempo
a) o vetor posição da partícula.
b) a velocidade da partícula.
c) a aceleração da partícula.
a) o vetor posição da partícula.
b) a velocidade da partícula.
c) a aceleração da partícula.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata do movimento circular, especificamente usando coordenadas polares. Temos uma partícula que se move em uma trajetória circular de raio
metros, com a velocidade dada por
. Precisamos encontrar, no instante
segundo, o vetor posição, a velocidade e a aceleração da partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o vetor posição em coordenadas polares. Em coordenadas polares, o vetor posição
é dado por:
onde
é a distância ao centro da trajetória e
é o vetor unitário na direção radial.
Passo 3
Sabemos que o raio
é constante e igual a 3 metros. Portanto, no instante
segundo, o vetor posição é:
Passo 4
Agora, vamos para a velocidade da partícula. A velocidade em coordenadas polares é composta por duas partes: a velocidade radial
e a velocidade angular
. A fórmula é:
Como o movimento é circular,
, então:
Passo 5
A velocidade tangencial está relacionada com a derivada do ângulo em relação ao tempo. Sabemos que a magnitude da velocidade é
, então:
No instante
segundo:
Portanto, a velocidade é:
Passo 6
Por fim, vamos encontrar a aceleração da partícula. Em coordenadas polares, a aceleração
é dada por:
Como
e
m constante, temos:
Passo 7
Vamos calcular
, que é a derivada de
em relação ao tempo:
No instante
segundo, temos:
Resposta
a) O vetor posição da partícula no instante
s é
metros.
b) A velocidade da partícula no instante
s é
metros por segundo.
c) A aceleração da partícula no instante
s é
metros por segundo ao quadrado.