Uma partícula se desloca, no sentido anti-horário, sobre uma trajetória circular de raio r=3 m. No sistema SI, a magnitude da velocidade da partícula em função do tempo é dada por v(t)=1+2 t. Determine, em coordenadas polares, no instante de tempo t=1 s
a) o vetor posição da partícula.
b) a velocidade da partícula.
c) a aceleração da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata do movimento circular, especificamente usando coordenadas polares. Temos uma partícula que se move em uma trajetória circular de raio metros, com a velocidade dada por . Precisamos encontrar, no instante segundo, o vetor posição, a velocidade e a aceleração da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o vetor posição em coordenadas polares. Em coordenadas polares, o vetor posição r = r , er é dado por:
onde é a distância ao centro da trajetória e é o vetor unitário na direção radial.

Passo 3

Sabemos que o raio r = 3 , er é constante e igual a 3 metros. Portanto, no instante segundo, o vetor posição é:

Passo 4

Agora, vamos para a velocidade da partícula. A velocidade em coordenadas polares é composta por duas partes: a velocidade radial v = dotr , er + rdottheta , etheta e a velocidade angular v = rdottheta , etheta . A fórmula é:
Como o movimento é circular, , então:

Passo 5

A velocidade tangencial está relacionada com a derivada do ângulo em relação ao tempo. Sabemos que a magnitude da velocidade é v(t) = rdottheta Rightarrow dottheta = v(t)r = 1 + 2t3 , então:
dottheta = 1 + 2(1)3 = 1 , rad/s
No instante v = 3 times 1 , etheta = 3 , etheta , m/s segundo:
Portanto, a velocidade é:

Passo 6

Por fim, vamos encontrar a aceleração da partícula. Em coordenadas polares, a aceleração a = (ddotr - rdottheta^2) , er + (rddottheta + 2dotrdottheta) , etheta é dada por:
a = (-3dottheta^2) , er + (3ddottheta) , etheta
Como e m constante, temos:

Passo 7

Vamos calcular dottheta = 1 + 2t3 Rightarrow ddottheta = 23 , rad/s^2 , que é a derivada de a = (-3 times 1^2) , er + (3 times 23) , etheta = -3 , er + 2 , etheta , m/s^2 em relação ao tempo:
No instante segundo, temos:

Resposta

a) O vetor posição da partícula no instante s é metros.
b) A velocidade da partícula no instante s é metros por segundo.
c) A aceleração da partícula no instante s é metros por segundo ao quadrado.

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