Uma partícula se desloca, no sentido anti-horário, sobre uma trajetória circular de raio . No sistema SI, a magnitude da velocidade da partícula em função do tempo é dada por . Determine, em coordenadas polares, no instante de tempo
a) o vetor posição da partícula.
b) a velocidade da partícula.
c) a aceleração da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata do movimento circular, especificamente usando coordenadas polares. Temos uma partícula que se move em uma trajetória circular de raio metros, com a velocidade dada por . Precisamos encontrar, no instante segundo, o vetor posição, a velocidade e a aceleração da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o vetor posição em coordenadas polares. Em coordenadas polares, o vetor posição é dado por:
onde é a distância ao centro da trajetória e é o vetor unitário na direção radial.

Passo 3

Sabemos que o raio é constante e igual a 3 metros. Portanto, no instante segundo, o vetor posição é:

Passo 4

Agora, vamos para a velocidade da partícula. A velocidade em coordenadas polares é composta por duas partes: a velocidade radial e a velocidade angular . A fórmula é:
Como o movimento é circular, , então:

Passo 5

A velocidade tangencial está relacionada com a derivada do ângulo em relação ao tempo. Sabemos que a magnitude da velocidade é , então:
No instante segundo:
Portanto, a velocidade é:

Passo 6

Por fim, vamos encontrar a aceleração da partícula. Em coordenadas polares, a aceleração é dada por:
Como e m constante, temos:

Passo 7

Vamos calcular , que é a derivada de em relação ao tempo:
No instante segundo, temos:

Resposta

a) O vetor posição da partícula no instante s é metros.
b) A velocidade da partícula no instante s é metros por segundo.
c) A aceleração da partícula no instante s é metros por segundo ao quadrado.

Exercícios relacionados

Uma partícula de massa acha-se em repouso na origem do eixo Ox , quando passa a agir sobre ela uma força resultante , paralela ao eixo. De a , a intensidade de é constante, de modo que . De em diante, adquire intensidade que obedece à função:
(SI)
a) Trace o gráfico da intensidade de F em função de .
b) Determine a velocidade escalar da partícula no ponto de abscissa .
Sobre o bloco mostrado na figura abaixo, começa a atuar uma força que depende da posição (x), de acordo com em que é expresso em metros. Determine o trabalho líquido no bloco até o momento em que atinge a sua velocidade máxima.
A força atua sobre um corpo durante 3 s , levando-o desde o ponto (3, 2 ) até o ponto (8, 5). Determine o trabalho realizado sobre o referido corpo. A força está newtons e as coordenadas em metros.
A figura mostra uma caixa de massa em repouso num plano horizontal liso. O Professor Gomes pede que você determine a intensidade da menor força F (horizontal e constante) capaz de fazer a caixa subir a rampa lisa e atingir o topo da rampa. Despreze atritos e admita gravidade g .