Utilizando esta definição e considerando as unidades das grandezas no Sistema Internacional obtenha a velocidade do móvel no instante
segundos.
O movimento horizontal de um móvel é descrito pela equação horária,
A sua velocidade (instantânea) no instante
é definida pelo limite à seguir,
O movimento horizontal de um móvel é descrito pela equação horária,
Passo 1
Beleza, vamos começar! A gente tem um móvel que se move horizontalmente, e a posição dele em qualquer instante de tempo
é dada por
. A pergunta quer saber qual é a velocidade desse móvel exatamente no instante
segundos. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limite, que faz parte do cálculo, para encontrar a velocidade instantânea.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa velocidade instantânea. É basicamente a velocidade do móvel em um momento específico, sem considerar o que ele estava fazendo antes ou depois desse momento. Matematicamente, a velocidade instantânea pode ser calculada usando a definição de derivada, que é o limite do quanto a posição muda em um intervalo de tempo bem pequenininho.
Passo 3
A fórmula que vamos usar é:
Aqui,
é a velocidade no instante
,
é a posição no tempo
, e
é a posição no tempo
.
Passo 4
Vamos substituir
na função posição para encontrar
:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos colocar esses valores na fórmula da velocidade:
A gente precisa calcular esse limite para encontrar a velocidade.
Passo 6
Para calcular o limite, vamos simplificar a expressão
. Perceba que
é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte forma:
Então, substituindo na fração:
Podemos cancelar
no numerador e denominador:
Passo 7
Agora, o limite fica bem mais fácil:
Como não temos mais do que uma função contínua, podemos simplesmente substituir
:
Resposta
A velocidade do móvel no instante
segundos é
.
Exercícios relacionados
Faça o gráfico das seguintes funções,
, considerando:
Verifique se a função é contínua em
utilizando a definição de continuidade.
O campo elétrico produzido por uma distribuição esférica e homogênea de cargas elétricas, de raio , é representado pela seguinte função,
O campo elétrico produzido por uma distribuição esférica e homogênea de cargas elétricas, de raio
sendo
uma constante e
a distância do centro da esfera até um ponto qualquer onde o campo está definido.
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Uma partícula desloca-se sobre o eixo
com velocidade
. Sabendo-se que, no instante
, a partícula encontra-se na posição
, determine a posição da partícula no instante
.