Utilizando esta definição e considerando as unidades das grandezas no Sistema Internacional obtenha a velocidade do móvel no instante t0=2 segundos.
O movimento horizontal de um móvel é descrito pela equação horária,
x(t)=t^3
A sua velocidade (instantânea) no instante t0 é definida pelo limite à seguir,
v(t0)=lim t t0 x(t)-x(t0)t-t0

Passo 1

Beleza, vamos começar! A gente tem um móvel que se move horizontalmente, e a posição dele em qualquer instante de tempo é dada por . A pergunta quer saber qual é a velocidade desse móvel exatamente no instante segundos. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limite, que faz parte do cálculo, para encontrar a velocidade instantânea.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa velocidade instantânea. É basicamente a velocidade do móvel em um momento específico, sem considerar o que ele estava fazendo antes ou depois desse momento. Matematicamente, a velocidade instantânea pode ser calculada usando a definição de derivada, que é o limite do quanto a posição muda em um intervalo de tempo bem pequenininho.

Passo 3

A fórmula que vamos usar é:
v(t0) = limt to t0 x(t) - x(t0)t - t0
Aqui, é a velocidade no instante , é a posição no tempo , e é a posição no tempo .

Passo 4

Vamos substituir x(2) = (2)^3 = 8 na função posição para encontrar :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos colocar esses valores na fórmula da velocidade:
v(2) = limt to 2 t^3 - 8t - 2
A gente precisa calcular esse limite para encontrar a velocidade.

Passo 6

Para calcular o limite, vamos simplificar a expressão t^3 - 8 = (t - 2)(t^2 + 2t + 4) . Perceba que t^3 - 8t - 2 = (t - 2)(t^2 + 2t + 4)t - 2 é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte forma:
t^2 + 2t + 4
Então, substituindo na fração:
Podemos cancelar no numerador e denominador:

Passo 7

Agora, o limite fica bem mais fácil:
v(2) = limt to 2 (t^2 + 2t + 4)
Como não temos mais do que uma função contínua, podemos simplesmente substituir v(2) = (2)^2 + 2(2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 :

Resposta

A velocidade do móvel no instante segundos é .

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