Para as seguintes escolhas da matriz
, encontre a solução geral das equações
, classifique o equilíbrio na origem, e esboce o retrato de fase:
(b)
(b)
Passo 1
Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações diferenciais do tipo
, onde a matriz
é
. A gente precisa encontrar a solução geral desse sistema, classificar o equilíbrio na origem e desenhar como fica o retrato de fase, que é basicamente um desenho que mostra o comportamento das soluções no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os autovalores da matriz
. Os autovalores são importantes porque nos dizem como as soluções do sistema se comportam ao longo do tempo. Para encontrar os autovalores
, resolvemos o determinante
, onde
é a matriz identidade.
Resolvendo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada
, resolvemos
.
Para
:
Isso resulta em
. Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Para
:
Isso resulta em
, ou seja,
. Escolhendo
, o autovetor é
.
Passo 4
Com os autovalores e autovetores, a solução geral do sistema é uma combinação das soluções associadas a cada autovalor:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Hora de classificar o equilíbrio na origem. Olhando para os autovalores, temos um negativo (
) e um positivo (
). Isso significa que o sistema é um ponto de sela, que é instável. No retrato de fase, isso aparece como curvas que se aproximam da origem ao longo de uma direção (associada ao autovalor negativo) e se afastam ao longo de outra direção (associada ao autovalor positivo).
Resposta
A solução geral do sistema é:
O equilíbrio na origem é um ponto de sela e o retrato de fase apresenta curvas que se aproximam e se afastam da origem, caracterizando esse tipo de estabilidade.