Para as seguintes escolhas da matriz A, encontre a solução geral das equações d/dt x = A x, classifique o equilíbrio na origem, e esboce o retrato de fase:
(b) (-2 1) (0 7)

Passo 1

Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações diferenciais do tipo , onde a matriz é . A gente precisa encontrar a solução geral desse sistema, classificar o equilíbrio na origem e desenhar como fica o retrato de fase, que é basicamente um desenho que mostra o comportamento das soluções no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os autovalores da matriz . Os autovalores são importantes porque nos dizem como as soluções do sistema se comportam ao longo do tempo. Para encontrar os autovalores , resolvemos o determinante , onde é a matriz identidade.
Resolvendo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada , resolvemos .
Para :
Isso resulta em . Podemos escolher , então o autovetor é .
Para :
Isso resulta em , ou seja, . Escolhendo , o autovetor é .

Passo 4

Com os autovalores e autovetores, a solução geral do sistema é uma combinação das soluções associadas a cada autovalor:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Hora de classificar o equilíbrio na origem. Olhando para os autovalores, temos um negativo ( ) e um positivo ( ). Isso significa que o sistema é um ponto de sela, que é instável. No retrato de fase, isso aparece como curvas que se aproximam da origem ao longo de uma direção (associada ao autovalor negativo) e se afastam ao longo de outra direção (associada ao autovalor positivo).

Resposta

A solução geral do sistema é:
O equilíbrio na origem é um ponto de sela e o retrato de fase apresenta curvas que se aproximam e se afastam da origem, caracterizando esse tipo de estabilidade.

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