Uma partícula se desloca sobre o eixo x de acordo com uma função posição x = x(t). Sendo v(t) = x'(t) a função velocidade da partícula e a(t) = x''(t) a função aceleração da partícula, determine x = x(t) nos casos abaixo:
d) a(t) = -e^(2t), v(0) = 1 e x(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a função posição de uma partícula que se move ao longo do eixo . Sabemos que a aceleração é dada por , e também temos as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integração, já que a aceleração é a derivada da velocidade e a velocidade é a derivada da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função velocidade . Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade:
Para encontrar , vamos integrar em relação a :
A integral de é , onde é a constante de integração:

Passo 3

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar . Substituindo na expressão de :
Resolvendo para :
Então, a função velocidade fica:

Passo 4

Agora que temos , vamos encontrar a posição . Sabemos que velocidade é a derivada da posição:
Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar . Substituindo na expressão de :
Resolvendo para :
Então, a função posição fica:

Resposta

A função posição da partícula é:

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