Uma partícula se desloca sobre o eixo de acordo com uma função posição . Sendo a função velocidade da partícula e a função aceleração da partícula, determine nos casos abaixo:
e) e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move no eixo com uma função de aceleração dada por . Além disso, sabemos que a velocidade inicial e a posição inicial . Nosso objetivo é descobrir a função de posição . Para isso, vamos precisar integrar a aceleração para achar a velocidade e, depois, integrar a velocidade para encontrar a posição. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a aceleração para encontrar a velocidade. Sabemos que . Então, para achar , integramos em relação a :

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa integral. A integral de é , porque ao derivar , volta a $ \cos\left(\frac{t}{4}\right)$. Então:
Onde é uma constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial da velocidade.

Passo 4

Sabemos que . Vamos substituir na equação da velocidade para achar :
Então, a função da velocidade fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar a função da velocidade para encontrar a posição :

Passo 6

Resolvendo a integral:
Onde é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial da posição.

Passo 7

Sabemos que . Vamos substituir na equação da posição para achar :
Então, a função da posição fica:

Resposta

A posição da partícula em função do tempo é:

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Uma partícula se desloca sobre o eixo de acordo com uma função posição . Sendo a função velocidade da partícula e a função aceleração da partícula, determine nos casos abaixo:
d) e
Determine os pontos críticos das funções
Calcule as derivadas das seguintes funções:
b)
b) mostre que