Uma partícula se desloca sobre o eixo
de acordo com uma função posição
. Sendo
a função velocidade da partícula e
a função aceleração da partícula, determine
nos casos abaixo:
e)
e
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move no eixo
com uma função de aceleração dada por
. Além disso, sabemos que a velocidade inicial
e a posição inicial
. Nosso objetivo é descobrir a função de posição
. Para isso, vamos precisar integrar a aceleração para achar a velocidade e, depois, integrar a velocidade para encontrar a posição. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a aceleração para encontrar a velocidade. Sabemos que
. Então, para achar
, integramos
em relação a
:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa integral. A integral de
é
, porque ao derivar
, volta a $ \cos\left(\frac{t}{4}\right)$. Então:
Onde
é uma constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial da velocidade.
Passo 4
Sabemos que
. Vamos substituir
na equação da velocidade para achar
:
Então, a função da velocidade fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar a função da velocidade para encontrar a posição
:
Passo 6
Resolvendo a integral:
Onde
é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial da posição.
Passo 7
Sabemos que
. Vamos substituir
na equação da posição para achar
:
Então, a função da posição fica:
Resposta
A posição da partícula em função do tempo é:
Exercícios relacionados
Uma partícula se desloca sobre o eixo
de acordo com uma função posição
. Sendo
a função velocidade da partícula e
a função aceleração da partícula, determine
nos casos abaixo:
d) e
d)
Determine os pontos críticos das funções
Calcule as derivadas das seguintes funções:
b)
b)
b) mostre que