Uma partícula se desloca sobre o eixo x com uma função posição x = x(t). Determine x = x(t) sabendo que:
d^2x/dt^2 = e^(-t) e v(0) = 0 e x(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move ao longo do eixo e a posição dela é dada por . O que a gente precisa descobrir é exatamente essa função . Para isso, sabemos que a aceleração da partícula é , e também temos as condições iniciais: a velocidade no tempo zero é e a posição inicial é . Vamos usar cálculo, especificamente integrações, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade . Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade, ou seja:
Para encontrar , a gente integra a aceleração em relação ao tempo:
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante :
Então, a função velocidade é:

Passo 3

Agora vamos encontrar a posição . Sabemos que a velocidade é a derivada da posição, ou seja:
Para achar , integramos a velocidade em relação ao tempo:
Usamos a condição inicial para encontrar a constante :
Portanto, a função posição é:

Resposta

A função posição da partícula é

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