Uma partícula desloca-se sobre o eixo x e sabese que no instante t, t ≥ 0 s, a velocidade é v(t)=2t+1. Sabe-se, ainda, que no instante t = 0 s a partícula encontra-se na posição x = 1 m. Determine a posição x = x(t) da partícula no instante t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema diz que uma partícula se move ao longo do eixo com uma velocidade que depende do tempo, dada por . Além disso, sabemos que no instante inicial segundos, a posição da partícula é metro. Nosso objetivo é descobrir a posição da partícula em qualquer instante . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integral, que nos ajuda a achar a posição a partir da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que para encontrar a posição , precisamos “desfazer” a derivação, ou seja, calcular a integral da velocidade em relação ao tempo. A fórmula que vamos usar é:
Onde é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 3

Vamos calcular a integral de :
Então, a expressão para fica:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor da constante . Sabemos que quando , . Vamos substituir esses valores na equação:

Passo 5

Com o valor de encontrado, podemos escrever a expressão final para a posição :

Resposta

A posição da partícula no instante é dada por:

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