Uma partícula desloca-se sobre o eixo
e sabese que no instante
, a velocidade é
. Sabe-se, ainda, que no instante
a partícula encontra-se na posição
. Determine a posição
da partícula no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema diz que uma partícula se move ao longo do eixo
com uma velocidade que depende do tempo, dada por
. Além disso, sabemos que no instante inicial
segundos, a posição da partícula é
metro. Nosso objetivo é descobrir a posição
da partícula em qualquer instante
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integral, que nos ajuda a achar a posição a partir da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que para encontrar a posição
, precisamos “desfazer” a derivação, ou seja, calcular a integral da velocidade em relação ao tempo. A fórmula que vamos usar é:
Onde
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 3
Vamos calcular a integral de
:
Então, a expressão para
fica:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor da constante
. Sabemos que quando
,
. Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 5
Com o valor de
encontrado, podemos escrever a expressão final para a posição
:
Resposta
A posição da partícula no instante
é dada por:
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