Resolva as integrais:

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: precisamos resolver a integral
Isso envolve o método de substituição em cálculo integral. Vamos precisar identificar uma parte da expressão para substituir por uma nova variável, o que vai simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a resolução. Observamos que a expressão aparece elevada a uma potência. Então, vamos definir:
Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a para fazer a substituição completa.

Passo 3

Calculamos a derivada de :
Notamos que é exatamente o fator que multiplica na integral original. Isso é perfeito para nossa substituição!

Passo 4

Com a substituição e , podemos reescrever a integral em termos de :
Agora, a integral ficou muito mais simples!

Passo 5

Vamos resolver a integral utilizando a regra da potência para integrais:
Aplicando essa regra com :

Passo 6

Finalmente, substituímos de volta para expressar a solução em termos de :

Resposta

A integral resolve-se para
onde é a constante de integração.

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Uma partícula desloca-se sobre o eixo e sabese que no instante , a velocidade é . Sabe-se, ainda, que no instante a partícula encontra-se na posição . Determine a posição da partícula no instante .