Resolva as integrais: integral(x+1x)^3 / 2(x^2-1x^2) d x

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: precisamos resolver a integral
integral (x + 1x)^32 (x^2 - 1x^2) dx
Isso envolve o método de substituição em cálculo integral. Vamos precisar identificar uma parte da expressão para substituir por uma nova variável, o que vai simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a resolução. Observamos que a expressão u = x + 1x aparece elevada a uma potência. Então, vamos definir:
Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a para fazer a substituição completa.

Passo 3

Calculamos a derivada de dudx = 1 - 1x^2 = x^2 - 1x^2 :
Notamos que é exatamente o fator que multiplica na integral original. Isso é perfeito para nossa substituição!

Passo 4

Com a substituição integral (x + 1x)^32 (x^2 - 1x^2) dx = integral u^32 , du e , podemos reescrever a integral em termos de :
Agora, a integral ficou muito mais simples!

Passo 5

Vamos resolver a integral integral u^n , du = u^n+1n+1 + C utilizando a regra da potência para integrais:
integral u^32 , du = u^5252 + C = 25 u^52 + C
Aplicando essa regra com :

Passo 6

Finalmente, substituímos 25 (x + 1x)^52 + C de volta para expressar a solução em termos de :

Resposta

A integral resolve-se para
25 (x + 1x)^52 + C
onde é a constante de integração.

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