Resolva as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver a integral
. A matéria que estamos usando aqui é Cálculo Integral, mais especificamente a técnica de substituição (ou mudança de variável). Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão que, ao ser substituída por uma nova variável, simplifica a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos chamar
. Essa escolha é boa porque o numerador da nossa fração,
, é parecido com a derivada de
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para achar
:
Isso significa que:
Podemos rearranjar para expressar
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na nossa integral original:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
. A regra básica de integração diz que
, desde que
. Aqui,
, então:
Passo 6
Voltando à nossa integral:
Passo 7
Por fim, substituímos
de volta pela expressão original em termos de
:
Resposta
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Uma partícula desloca-se sobre o eixo
e sabese que no instante
, a velocidade é
. Sabe-se, ainda, que no instante
a partícula encontra-se na posição
. Determine a posição
da partícula no instante
.