Resolva as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver a integral . A matéria que estamos usando aqui é Cálculo Integral, mais especificamente a técnica de substituição (ou mudança de variável). Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão que, ao ser substituída por uma nova variável, simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos chamar . Essa escolha é boa porque o numerador da nossa fração, , é parecido com a derivada de .

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para achar :
Isso significa que:
Podemos rearranjar para expressar :

Passo 4

Vamos substituir e na nossa integral original:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a . A regra básica de integração diz que , desde que . Aqui, , então:

Passo 6

Voltando à nossa integral:

Passo 7

Por fim, substituímos de volta pela expressão original em termos de :

Resposta

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Uma partícula desloca-se sobre o eixo e sabese que no instante , a velocidade é . Sabe-se, ainda, que no instante a partícula encontra-se na posição . Determine a posição da partícula no instante .