Resolva as integrais: integral[(x-1)raiz[3]x^2-2 x+3] d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver a integral . A matéria que estamos usando aqui é Cálculo Integral, mais especificamente a técnica de substituição (ou mudança de variável). Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão que, ao ser substituída por uma nova variável, simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos chamar . Essa escolha é boa porque o numerador da nossa fração, , é parecido com a derivada de .

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = 2x - 2 em relação a du = (2x - 2) dx = 2(x - 1) dx para achar (x - 1) dx = du2 :
Isso significa que:
Podemos rearranjar para expressar :

Passo 4

Vamos substituir integral [(x - 1)raiz[3]x^2 - 2x + 3] dx = integral 1u^1/3 cdot du2 e 12 integral u^-1/3 du na nossa integral original:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^-1/3 du = u^2/32/3 + C = 32 u^2/3 + C em relação a . A regra básica de integração diz que , desde que . Aqui, , então:

Passo 6

Voltando à nossa integral:
12 cdot 32 u^2/3 + C = 34 u^2/3 + C

Passo 7

Por fim, substituímos 34 (x^2 - 2x + 3)^2/3 + C de volta pela expressão original em termos de :

Resposta

integral [(x-1)raiz[3]x^2-2 x+3] dx = 34 (x^2 - 2x + 3)^2/3 + C

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