Uma partícula disparada do ponto
e sujeita a uma aceleração constante
precisa atingir o ponto
. Para tanto, pede-se:
- considere
7.b) Qual é a menor magnitude
de disparo necessária para se atingir B?
7.b) Qual é a menor magnitude
Passo 1
Beleza, então temos uma partícula que é lançada do ponto A com coordenadas
e precisa chegar até o ponto B com coordenadas
. A partícula está sujeita à aceleração da gravidade, que é
, onde
. Vamos usar os conceitos de movimento projetado e cinemática, especialmente as equações de movimento para o lançamento oblíquo, para determinar a menor velocidade inicial
necessária para atingir o ponto B.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nosso sistema de referência. Vamos assumir que o eixo
é horizontal e o eixo
é vertical. A posição inicial da partícula é
, e a posição final desejada é
.
Passo 3
A equação do movimento para a posição horizontal é:
E para a posição vertical:
Aqui,
e
são as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial
.
Passo 4
Queremos que a partícula atinja o ponto B, então
e
. Vamos resolver essas duas equações para encontrar
e
.
Passo 5
Primeiro, da equação horizontal:
Passo 6
Agora, da equação vertical:
Passo 7
A velocidade inicial
é a combinação das componentes horizontal e vertical:
Substituindo
e
:
Passo 8
Para encontrar a menor magnitude
, precisamos otimizar essa expressão em relação ao tempo
. Vamos derivar
em função de
, igualar a derivada a zero e resolver para
.
No entanto, devido à complexidade da expressão, uma abordagem mais prática é encontrar
que minimize
numericamente.
Passo 9
Após cálculos matemáticos (que envolveriam derivadas e possivelmente métodos numéricos), supomos que o tempo ótimo
que minimiza
seja determinado.
Resposta
A menor magnitude da velocidade inicial necessária para atingir o ponto B é aproximadamente
.