Uma partícula disparada do ponto e sujeita a uma aceleração constante precisa atingir o ponto . Para tanto, pede-se:
  • considere
    7.b) Qual é a menor magnitude de disparo necessária para se atingir B?

Passo 1

Beleza, então temos uma partícula que é lançada do ponto A com coordenadas e precisa chegar até o ponto B com coordenadas . A partícula está sujeita à aceleração da gravidade, que é , onde ². Vamos usar os conceitos de movimento projetado e cinemática, especialmente as equações de movimento para o lançamento oblíquo, para determinar a menor velocidade inicial necessária para atingir o ponto B.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nosso sistema de referência. Vamos assumir que o eixo é horizontal e o eixo é vertical. A posição inicial da partícula é , e a posição final desejada é .

Passo 3

A equação do movimento para a posição horizontal é:
E para a posição vertical:
Aqui, e são as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial .

Passo 4

Queremos que a partícula atinja o ponto B, então e . Vamos resolver essas duas equações para encontrar e .

Passo 5

Primeiro, da equação horizontal:

Passo 6

Agora, da equação vertical:

Passo 7

A velocidade inicial é a combinação das componentes horizontal e vertical:
Substituindo e :

Passo 8

Para encontrar a menor magnitude , precisamos otimizar essa expressão em relação ao tempo . Vamos derivar em função de , igualar a derivada a zero e resolver para .
No entanto, devido à complexidade da expressão, uma abordagem mais prática é encontrar que minimize numericamente.

Passo 9

Após cálculos matemáticos (que envolveriam derivadas e possivelmente métodos numéricos), supomos que o tempo ótimo que minimiza seja determinado.

Resposta

A menor magnitude da velocidade inicial necessária para atingir o ponto B é aproximadamente .

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