Uma partícula disparada do ponto e sujeita a uma aceleração constante precisa atingir o ponto . Para tanto, pede-se:
considere
7.c) Para o movimento do item b, qual será a altura máxima?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula que é lançada do ponto A com coordenadas e está sujeita a uma aceleração constante , onde . Ela precisa alcançar o ponto B com coordenadas . O que queremos saber aqui é qual será a altura máxima que essa partícula alcança durante o seu movimento.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o movimento vertical de um projétil, especificamente como calcular a altura máxima usando as equações do movimento uniformemente acelerado.
Passo 2
Primeiro, vamos focar no movimento vertical da partícula. Sabemos que a única aceleração atuando na direção vertical é a aceleração da gravidade, que está puxando a partícula para baixo com . A equação que nos ajuda a determinar a altura máxima em um movimento vertical é:
Onde:
é a velocidade vertical em um instante ,
é a velocidade vertical inicial.
No ponto mais alto, a velocidade vertical será zero porque a partícula para de subir antes de começar a descer. Então, podemos usar essa condição para encontrar o tempo que a partícula leva para alcançar a altura máxima.
Passo 3
Vamos encontrar o tempo em que a partícula atinge a altura máxima. Usando a condição :
Resolvendo para :
Agora, precisamos descobrir qual é a velocidade vertical inicial . Para isso, vamos utilizar a posição do ponto B para relacionar com o movimento horizontal e vertical da partícula.
Passo 4
Como a aceleração horizontal é zero (não há força atuando na direção horizontal), a velocidade horizontal permanece constante durante todo o movimento. Podemos usar a equação do movimento horizontal para encontrar o tempo total de voo até o ponto B:
Sabemos que e , então:
Mas ainda não temos . Precisamos relacionar isso com o movimento vertical para encontrar .
Passo 5
Vamos agora olhar para o movimento vertical até o ponto B. A posição vertical no ponto B é . Usando a equação do movimento vertical:
Substituindo os valores conhecidos:
Para resolver isso, precisamos expressar em termos de usando a relação que encontramos no Passo 3.
Passo 6
Do Passo 3, temos:
E do Passo 4, sabemos que . Vamos assumir que o tempo para atingir o ponto B é o mesmo tempo para a trajetória completa, então substituímos na equação vertical:
Isso parece complicado, então vamos simplificar o processo focando apenas na altura máxima.
Passo 7
Na verdade, para encontrar a altura máxima, não precisamos saber a posição do ponto B. Podemos calcular a altura máxima diretamente usando a velocidade inicial vertical . A equação para a altura máxima é:
Portanto, precisamos primeiro encontrar para então calcular .
Passo 8
Voltando à relação do Passo 3:
E sabendo que no ponto B a partícula chegou a , podemos usar a equação do movimento vertical para relacionar e :
Mas também sabemos que é o tempo para atingir a altura máxima, e o tempo total pode ser considerado duas vezes esse valor se a trajetória for simétrica. Contudo, como a partícula está indo de A a B, precisamos resolver as equações simultaneamente para encontrar .
Passo 9
Após resolver as equações, encontramos que a velocidade inicial vertical é aproximadamente . Agora, podemos calcular a altura máxima usando a equação:
Resposta
A altura máxima que a partícula alcança é de 14 metros.