Uma partícula disparada do ponto A(XA ; YA)=(3 m ; 4 m) e sujeita a uma aceleração constante a=-g jmath precisa atingir o ponto B(XB ; YB)=(40 m ; 30 m). Para tanto, pede-se:
  • considere g=9,8 ms^2
    7.e) Para um disparo velocidade 20 % maior que a velocidade do item a, quais são o menor de e maior de ângulos de disparo possíveis?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que vai ser lançada do ponto A(3 m, 4 m) e precisa chegar no ponto B(40 m, 30 m). Isso está tudo dentro do estudo de movimento projetil, que envolve física de lançamento de objetos sob a influência da gravidade. Para resolver esse exercício, vamos precisar usar as equações do movimento projetil e entender como a velocidade e o ângulo de lançamento influenciam na trajetória da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a velocidade que foi usada no item a. Como o exercício pede para usarmos uma velocidade 20% maior que a do item a, vamos chamar a velocidade original de vnova = va times 1,2 . Então, a nova velocidade que vamos usar é:

Passo 3

Agora, precisamos lembrar das equações básicas do movimento projetil. A posição da partícula em função do tempo pode ser descrita por:
x(t) = xA + v cos(de
y(t) = yA + v sin(de
Onde:
  • é o ponto de lançamento.
  • é a velocidade inicial.
  • é o ângulo de lançamento.
  • é a aceleração da gravidade (9,8 m/s²).

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar os ângulos 40 = 3 + vnova cos(de e 30 = 4 + vnova sin(de que permitem que a partícula atinja o ponto B(40 m, 30 m) com a nova velocidade .
Para isso, vamos substituir os valores de e com as coordenadas de B:

Passo 5

Primeiro, vamos resolver a equação de 40 = 3 + vnova cos(de para encontrar o tempo :

Passo 6

Agora, vamos substituir esse valor de 30 = 4 + vnova sin(de na equação de 30 = 4 + 37 tan(de:
Simplificando:

Passo 7

Vamos reorganizar a equação para isolar termos com 30 - 4 = 37 tan(de:

Passo 8

Para resolver essa equação, vamos usar a identidade trigonométrica 26 = 37u - 9,8 times 13692 vnova^2 (u^2 + 1) , o que nos permite transformar a equação em uma forma quadrática em termos de .
Vamos chamar . Então, a equação fica:

Passo 9

Agora, rearranjamos a equação para a forma padrão de uma equação quadrática 9,8 times 13692 vnova^2 u^2 - 37u + (26 + 9,8 times 13692 vnova^2) = 0 :

Passo 10

Com a equação quadrática pronta, podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de u = 37 pm raiz37^2 - 4 times 9,8 times 13692 vnova^2 times (26 + 9,8 times 13692 vnova^2)2 times 9,8 times 13692 vnova^2 :

Passo 11

Depois de calcular os valores de de, ou seja, , podemos encontrar os ângulos e usando a função arco-tangente:

Resposta

Os menores e maiores ângulos de disparo possíveis são e , respectivamente, calculados a partir das soluções obtidas para na equação quadrática acima, considerando a velocidade 20% maior que a do item a.

Exercícios relacionados