Uma partícula disparada do ponto
e sujeita a uma aceleração constante
precisa atingir o ponto
. Para tanto, pede-se:
- considere
7.e) Para um disparo velocidade
maior que a velocidade do item a, quais são o menor
e maior
ângulos de disparo possíveis?
7.e) Para um disparo velocidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que vai ser lançada do ponto A(3 m, 4 m) e precisa chegar no ponto B(40 m, 30 m). Isso está tudo dentro do estudo de movimento projetil, que envolve física de lançamento de objetos sob a influência da gravidade. Para resolver esse exercício, vamos precisar usar as equações do movimento projetil e entender como a velocidade e o ângulo de lançamento influenciam na trajetória da partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a velocidade que foi usada no item a. Como o exercício pede para usarmos uma velocidade 20% maior que a do item a, vamos chamar a velocidade original de
. Então, a nova velocidade que vamos usar é:
Passo 3
Agora, precisamos lembrar das equações básicas do movimento projetil. A posição da partícula em função do tempo pode ser descrita por:
Onde:
-
é o ponto de lançamento. -
é a velocidade inicial. -
é o ângulo de lançamento. -
é a aceleração da gravidade (9,8 m/s²).
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar os ângulos
e
que permitem que a partícula atinja o ponto B(40 m, 30 m) com a nova velocidade
.
Para isso, vamos substituir os valores de
e
com as coordenadas de B:
Passo 5
Primeiro, vamos resolver a equação de
para encontrar o tempo
:
Passo 6
Agora, vamos substituir esse valor de
na equação de
:
Simplificando:
Passo 7
Vamos reorganizar a equação para isolar termos com
:
Passo 8
Para resolver essa equação, vamos usar a identidade trigonométrica
, o que nos permite transformar a equação em uma forma quadrática em termos de
.
Vamos chamar
. Então, a equação fica:
Passo 9
Agora, rearranjamos a equação para a forma padrão de uma equação quadrática
:
Passo 10
Com a equação quadrática pronta, podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de
:
Passo 11
Depois de calcular os valores de
, ou seja,
, podemos encontrar os ângulos
e
usando a função arco-tangente:
Resposta
Os menores e maiores ângulos de disparo possíveis são
e
, respectivamente, calculados a partir das soluções obtidas para
na equação quadrática acima, considerando a velocidade 20% maior que a do item a.