Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por e uma energia dada por , em que é um comprimento. (e) Mostre que é o ponto de retorno clássico.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. Temos uma partícula que está em uma região do espaço com uma função de onda dada por e uma energia . A tarefa é mostrar que é o ponto de retorno clássico.
Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que é ponto de retorno clássico e como relacionar a energia total da partícula com sua energia potencial. Vamos usar conceitos de mecânica quântica e clássica, mas de um jeito bem simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é ponto de retorno clássico. Na mecânica clássica, o ponto de retorno é onde a energia cinética da partícula é zero, ou seja, toda a energia está na energia potencial. Então, nesse ponto.

Passo 3

Agora, sabemos que a energia total da partícula é . Queremos achar onde a energia potencial é igual a essa energia . Isso nos dará o ponto de retorno clássico.

Passo 4

Vamos assumir que a energia potencial tem uma forma que depende de . Dado que a funç��o de onda é uma gaussiana, uma boa suposição é que seja uma função quadrática, como em um oscilador harmônico. Então, podemos escrever:

Passo 5

Agora, igualamos a energia potencial à energia total para encontrar o ponto de retorno:

Passo 6

Simplificando essa equação, podemos multiplicar ambos os lados por :
Então, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

Assim, mostramos que (e também ) é o ponto de retorno clássico.

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Os dados abaixo são resultados de um experimento de efeito fotelétrico.
544 594 604 612 633
max 0,360 0,199 0,156 0,117 0,062
(a) Use um gráfico de á em função de para determinar o valor da constante de Planck.
(b) Qual é a diferença percentual (para mais ou para menos) do valor calculado no item (a) em relação ao valor aceito atualmente? © De acordo com o gráfico do item (a), qual é o valor aproximado da função trabalho do metal usado no catodo do equipamento?
Determine a temperatura de um corpo negro se o espectro apresenta um máximo em (a) 700 nm (luz visível); (b) (micro-ondas); © (rádio FM).
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