Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por
e uma energia dada por
, em que
é um comprimento. (e) Mostre que
é o ponto de retorno clássico.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. Temos uma partícula que está em uma região do espaço com uma função de onda dada por
e uma energia
. A tarefa é mostrar que
é o ponto de retorno clássico.
Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que é ponto de retorno clássico e como relacionar a energia total da partícula com sua energia potencial. Vamos usar conceitos de mecânica quântica e clássica, mas de um jeito bem simples.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é ponto de retorno clássico. Na mecânica clássica, o ponto de retorno é onde a energia cinética da partícula é zero, ou seja, toda a energia está na energia potencial. Então,
nesse ponto.
Passo 3
Agora, sabemos que a energia total da partícula é
. Queremos achar onde a energia potencial
é igual a essa energia
. Isso nos dará o ponto de retorno clássico.
Passo 4
Vamos assumir que a energia potencial
tem uma forma que depende de
. Dado que a funç��o de onda é uma gaussiana, uma boa suposição é que
seja uma função quadrática, como em um oscilador harmônico. Então, podemos escrever:
Passo 5
Agora, igualamos a energia potencial
à energia total
para encontrar o ponto de retorno:
Passo 6
Simplificando essa equação, podemos multiplicar ambos os lados por
:
Então, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
Assim, mostramos que
(e também
) é o ponto de retorno clássico.