Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por psi(x)= A exp (-x^2 / 2 L^2) e uma energia dada por hbar^2 / 2 m L^2, em que L é um comprimento. (e) Mostre que x=L é o ponto de retorno clássico.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. Temos uma partícula que está em uma região do espaço com uma função de onda dada por psi(x) = A exp(-x^22 L^2) e uma energia E = hbar^22 m L^2. A tarefa é mostrar que x = L é o ponto de retorno clássico.
Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que é ponto de retorno clássico e como relacionar a energia total da partícula com sua energia potencial. Vamos usar conceitos de mecânica quântica e clássica, mas de um jeito bem simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é ponto de retorno clássico. Na mecânica clássica, o ponto de retorno é onde a energia cinética da partícula é zero, ou seja, toda a energia está na energia potencial. Então, nesse ponto.

Passo 3

Agora, sabemos que a energia total da partícula é . Queremos achar onde a energia potencial é igual a essa energia . Isso nos dará o ponto de retorno clássico.

Passo 4

Vamos assumir que a energia potencial V(x) = hbar^2 x^22 m L^2 tem uma forma que depende de . Dado que a funç��o de onda é uma gaussiana, uma boa suposição é que seja uma função quadrática, como em um oscilador harmônico. Então, podemos escrever:

Passo 5

Agora, igualamos a energia potencial hbar^2 x^22 m L^2 = hbar^22 m L^2 à energia total para encontrar o ponto de retorno:

Passo 6

Simplificando essa equação, podemos multiplicar ambos os lados por x^2 = 1 :
x = pm L
Então, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

Assim, mostramos que (e também ) é o ponto de retorno clássico.

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