A série de linhas espectrais do hidrogênio com m=4 é denominada série de Brackett. Calcule os comprimentos de onda das quatro primeiras linhas da série de Brackett. Considere R= 1,097 times 10^7 m^-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre as linhas espectrais do hidrogênio na série de Brackett. O que a gente precisa aqui é calcular os comprimentos de onda das quatro primeiras linhas dessa série. Vamos usar a constante de Rydberg, que foi fornecida como R = 1,097 times 10^7 m^-1. Isso está relacionado ao conteúdo de Física que trata das transições eletrônicas e das séries espectrais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de Rydberg, que é essencial para calcular os comprimentos de onda das linhas espectrais do hidrogênio. A fórmula é:
1lambda = R ( 1n1^2 - 1n2^2 )
Onde:
  • lambda é o comprimento de onda que queremos encontrar.
  • R é a constante de Rydberg.
  • n1 é o nível de energia final.
  • n2 é o nível de energia inicial, que deve ser maior que n1.

Passo 3

Na série de Brackett, o nível de energia final é n1 = 4. As quatro primeiras linhas correspondem a transições onde n2 = 5, 6, 7, 8. Vamos calcular lambda para cada uma dessas transições.

Passo 4

Vamos começar com a primeira linha, onde n2 = 5:
1lambda = 1,097 times 10^7 ( 14^2 - 15^2 )
Calculando os valores:
1lambda = 1,097 times 10^7 ( 116 - 125 ) = 1,097 times 10^7 ( 25 - 16400 ) = 1,097 times 10^7 times 9400
1lambda = 1,097 times 10^7 times 0,0225 = 2,46825 times 10^5 , m^-1
Então,
lambda = 12,46825 times 10^5 approx 4,056 times 10^-6 , m = 4056 , nm

Passo 5

Agora, vamos para a segunda linha, com n2 = 6:
1lambda = 1,097 times 10^7 ( 14^2 - 16^2 ) = 1,097 times 10^7 ( 116 - 136 )
1lambda = 1,097 times 10^7 ( 36 - 16576 ) = 1,097 times 10^7 times 20576
1lambda = 1,097 times 10^7 times 0,034722 approx 3,804 times 10^5 , m^-1
Então,
lambda = 13,804 times 10^5 approx 2,629 times 10^-6 , m = 2629 , nm

Passo 6

Vamos para a terceira linha, com n2 = 7:
1lambda = 1,097 times 10^7 ( 14^2 - 17^2 ) = 1,097 times 10^7 ( 116 - 149 )
1lambda = 1,097 times 10^7 ( 49 - 16784 ) = 1,097 times 10^7 times 33784
1lambda = 1,097 times 10^7 times 0,042089 approx 4,623 times 10^5 , m^-1
Então,
lambda = 14,623 times 10^5 approx 2,164 times 10^-6 , m = 2164 , nm

Passo 7

Por fim, a quarta linha, com n2 = 8:
1lambda = 1,097 times 10^7 ( 14^2 - 18^2 ) = 1,097 times 10^7 ( 116 - 164 )
1lambda = 1,097 times 10^7 ( 4 - 164 ) = 1,097 times 10^7 times 364
1lambda = 1,097 times 10^7 times 0,046875 approx 5,146 times 10^5 , m^-1
Então,
lambda = 15,146 times 10^5 approx 1,944 times 10^-6 , m = 1944 , nm

Resposta

As quatro primeiras linhas da série de Brackett têm os seguintes comprimentos de onda:
  1. 4056 nm
  2. 2629 nm
  3. 2164 nm
  4. 1944 nm

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