Uma partícula executa um movimento circular de raio R=2 m ao redor da origem ( 0 m ; 0 m ) de um dado sistema de coordenadas. No instante t=0 s, a velocidade angular é omega0=30 rpm no sentido antihorário. Dado que, no instante t=0 s, as coordenadas de posição são (X0 ; Y0)=(1,732 m ; 1 m), pede-se: 6.a) As componentes Vx e Vy do vetor velocidade inicial

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula se movendo em um círculo de raio metros ao redor da origem. No instante inicial ( s), ela tem uma velocidade angular de rpm no sentido antihorário. Nesse mesmo instante, as coordenadas de posição são . O que precisamos encontrar são as componentes e do vetor velocidade inicial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular uniforme e decomposição vetorial da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade angular de rpm (rotações por minuto) para radianos por segundo, que é a unidade padrão no SI. Sabemos que:
1 , rpm = 2pi60 , rad/s
Portanto:
omega0 = 30 , rpm times 2pi60 = pi , rad/s

Passo 3

No movimento circular, a velocidade tangencial v = omega times R está relacionada à velocidade angular v = pi , rad/s times 2 , m = 2pi , m/s e ao raio pela fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as componentes theta = arctan(Y0X0) = arctan(11,732) approx 30^circ e da velocidade. A velocidade está sempre tangente à trajetória circular. Para achar as componentes, usamos as coordenadas de posição .
Primeiro, vamos encontrar o ângulo da posição inicial usando as coordenadas:

Passo 5

A direção da velocidade tangencial está a 90° em relação ao raio. Como o movimento é no sentido antihorário, o ângulo da velocidade thetav = theta + 90^circ = 30^circ + 90^circ = 120^circ será:

Passo 6

Agora, decomponhamos a velocidade Vx = V cos(thetav) = 2pi cos(120^circ) = 2pi times (-0,5) = -pi , m/s nas componentes Vy = V sin(thetav) = 2pi sin(120^circ) = 2pi times raiz32 = piraiz3 , m/s e :

Resposta

As componentes da velocidade inicial são e .

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