Uma partícula foi colocada na superfície externa de uma esfera lisa de raio
a uma distância
acima do plano central. Determine em que ponto a partícula abandona a superfície, depois que ela começa a deslizar para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve cinemática e dinâmica de partículas em superfícies curvas, especificamente em uma esfera lisa. Precisamos descobrir em que ponto uma partícula, que começa a deslizar de um ponto específico na esfera, vai se desprender dela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de energia mecânica e força centrípeta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a posição inicial da partícula. Ela está na superfície externa de uma esfera de raio $ b $ e localizada a uma altura de $ \frac{b}{2} $ acima do plano central. Isso significa que, inicialmente, a partícula está a uma altura $ h_i = \frac{b}{2} $.
Passo 3
À medida que a partícula desliza para baixo, sua altura diminui, e ela ganha velocidade devido à conservação da energia mecânica. A energia potencial inicial ($ U_i
K
U_f $):
$ U_i = mgh_i $, onde $ m $ é a massa da partícula e $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 4
Vamos expressar a altura da partícula em termos do ângulo $ \theta $ que ela faz com a vertical quando está em um ponto qualquer na trajetória. A altura $ h $ em qualquer ponto é:
Então, a energia potencial final será:
Passo 5
Aplicando a conservação da energia:
Podemos simplificar $ m $ em todos os termos:
Substituindo $ h_i = \frac{b}{2} $:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Isolando $ v^2 $:
Passo 6
Agora, vamos considerar a força centrípeta necessária para manter a partícula na trajetória circular. A força normal ($ N $) fornecida pela esfera mais a componente do peso da partícula devem fornecer a força centrípeta:
Quando a partícula se desprende da superfície, a força normal $ N $ é zero:
Cancelando $ m $ e substituindo $ v^2 $ da equação anterior:
Simplificando:
Somando $ 2\cos\theta $ aos dois lados:
Portanto:
Resposta
A partícula abandona a superfície da esfera quando o ângulo $ \theta $ com a vertical é tal que $ \cos\theta = \frac{1}{3} $. Portanto, o ponto de separação ocorre quando $ \theta $ satisfaz: