Uma partícula se movimenta em linha reta sob a ação de uma força dependente do tempo de acordo com a expressão abaixo:

F(t)=4 t^2+2 t+3

De acordo com o que foi dado calcule:
a) A expressão da variação do momento linear da partícula.
b) O impulso da força resultante atuante na partícula entre os instantes 2 s e 4 s .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula que se move em linha reta sob a ação de uma força que depende do tempo, dada por . Precisamos calcular duas coisas:
a) A expressão da variação do momento linear da partícula.
b) O impulso da força resultante atuante na partícula entre os instantes 2 s e 4 s.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de física como momento linear, variação do momento linear, força e impulso. Vamos resolver passo a passo, explicando cada conceito conforme avançamos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento linear. O momento linear ( p = m cdot v ) de uma partícula é dado por:
De
onde é a massa da partícula e é a velocidade dela.
A variação do momento linear ( ) representa a mudança nesse momento ao longo do tempo. De acordo com a segunda lei de Newton, essa variação é igual à força resultante que atua sobre a partícula vezes o intervalo de tempo considerado:
No nosso caso, a força não é constante, ela depende do tempo. Então, para encontrar a variação do momento linear, precisamos integrar a força em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos calcular a variação do momento linear da partícula. A força é uma função do tempo: De.
A variação do momento linear é dada pela integral da força em relação ao tempo:
De
Vamos calcular essa integral:
De
De
Onde é a constante de integração. Como estamos interessados na variação do momento, podemos considerar que .

Passo 4

Então, a expressão da variação do momento linear da partícula é:
De
Essa é a resposta para a parte a) da questão.

Passo 5

Agora, vamos para a parte b), que pede o impulso da força resultante atuante na partícula entre os instantes 2 s e 4 s.
O impulso ( J = integralt1^t2 F(t) , dt ) é definido como a integral da força em relação ao tempo sobre um intervalo específico:
Nesse caso, s e s.

Passo 6

Vamos calcular o impulso:
J = integral2^4 (4t^2 + 2t + 3) , dt
Já sabemos que a integral de J = [ 43t^3 + t^2 + 3t ]2^4 é J = ( 43(4)^3 + (4)^2 + 3(4) ) - ( 43(2)^3 + (2)^2 + 3(2) ) , então vamos avaliar essa expressão nos limites de 2 s e 4 s:
J = ( 43(64) + 16 + 12 ) - ( 43(8) + 4 + 6 )
J = ( 2563 + 28 ) - ( 323 + 10 )
J = ( 256 + 843 ) - ( 32 + 303 )
J = 3403 - 623
J = 2783
J approx 92,67 , N·s

Resposta

a) A variação do momento linear da partícula é .
b) O impulso da força resultante entre 2 s e 4 s é aproximadamente .

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