Uma partícula move-se em linha reta tal que sua aceleraçäo em qualquer instante é proporcional a sua velocidade sendo k a constante de proporcionalidade. (use que v=v0 quando t=0 ) a ) encontre a expressão de v como função de t . b) Usando agora que se x=0 quando v=v0 ache x como função de v. c)ache x como funçãó de t.(ache a constante de integração considerando que x=0 se t=0.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre movimento retilíneo onde a aceleração da partícula é proporcional à sua velocidade. Isso está dentro da matéria de cinemática, uma parte da física. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de derivadas e integrais, já que estamos lidando com velocidade, aceleração e posição em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a aceleração a = k cdot v é proporcional à velocidade a = dvdt . Matemáticamente, isso se escreve como:
dvdt = k cdot v
Onde é a constante de proporcionalidade.
Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, podemos substituir na primeira equação:

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial:
dvdt = k cdot v
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver separando as variáveis:
dvv = k cdot dt
Integrando os dois lados:
integral 1v dv = integral k , dt
O que resulta em:
ln|v| = k t + C
Onde é a constante de integraç��o.

Passo 4

Para encontrar v = e^k t + C = e^C cdot e^k t em função de v(t) = v0 cdot e^k t , vamos isolar :
Podemos chamar de (constante), então:

Passo 5

Agora, para a parte b, queremos achar v = dxdt como função de dxdt = dxdv cdot dvdt , sabendo que v = dxdv cdot k v quando dxdv = 1k .
Sabemos que velocidade é a derivada da posição:
integral dx = integral 1k dv
Mas queremos x = vk + C . Usando a regra da cadeia:
0 = v0k + C implies C = -v0k
Sabemos que x(v) = vk - v0k = v - v0k , então:
Simplificando:

Integração:

Integrando ambos os lados:
Usando a condição quando :
Então:

Passo 6

Finalmente, para a parte c, precisamos achar x(t) = v(t) - v0k = v0 e^k t - v0k = v0 (e^k t - 1)k como função de x(0) = v0 (1 - 1)k = 0 . Já temos e .
Vamos substituir em :
Agora, usamos a condição que quando . Ao substituir :
Isso confirma que nossa constante de integração está correta.

Resposta

A expressão de x(t) = v0k ( e^k t - 1 ) em função de é:

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