Uma partícula move-se em linha reta tal que sua aceleraçäo em qualquer instante é proporcional a sua velocidade sendo
a constante de proporcionalidade. (use que
quando
)
) encontre
expressão de v como função de t . b) Usando agora que se
quando
ache x como função de
. c)ache
como funçãó de t.(ache a constante de integração considerando que
se
.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre movimento retilíneo onde a aceleração da partícula é proporcional à sua velocidade. Isso está dentro da matéria de cinemática, uma parte da física. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de derivadas e integrais, já que estamos lidando com velocidade, aceleração e posição em função do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a aceleração
é proporcional à velocidade
. Matemáticamente, isso se escreve como:
Onde
é a constante de proporcionalidade.
Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, podemos substituir na primeira equação:
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver separando as variáveis:
Integrando os dois lados:
O que resulta em:
Onde
é a constante de integraç��o.
Passo 4
Para encontrar
em função de
, vamos isolar
:
Podemos chamar
de
(constante), então:
Passo 5
Agora, para a parte b, queremos achar
como função de
, sabendo que
quando
.
Sabemos que velocidade é a derivada da posição:
Mas queremos
. Usando a regra da cadeia:
Sabemos que
, então:
Simplificando:
Integração:
Integrando ambos os lados:
Usando a condição
quando
:
Então:
Passo 6
Finalmente, para a parte c, precisamos achar
como função de
. Já temos
e
.
Vamos substituir
em
:
Agora, usamos a condição que
quando
. Ao substituir
:
Isso confirma que nossa constante de integração está correta.
Resposta
A expressão de
em função de
é:
Exercícios relacionados
Uma partícula se movimenta em linha reta sob a ação de uma força dependente do tempo de acordo com a expressão abaixo:
De acordo com o que foi dado calcule:
a) A expressão da variação do momento linear da partícula.
b) O impulso da força resultante atuante na partícula entre os instantes 2 s e 4 s .
a) A expressão da variação do momento linear da partícula.
b) O impulso da força resultante atuante na partícula entre os instantes 2 s e 4 s .
Uma partícula move-se em linha reta com
. Quando
xé igual a 3. Calcule a aceleração quando
; Calcule a aceleração quando
s;g
Uma partícula é lançada com velocidade
a partir de um ponto fixo
, movendo-se em uma linha reta OX. A desaceleração é é proporcional a v, onde v é a velocidade quando sua distância de O é x. (chame de b a constante de proporcionalidade). a) mostre que
umà constante quando
).