Uma partícula move-se em linha reta tal que sua aceleraçäo em qualquer instante é proporcional a sua velocidade sendo a constante de proporcionalidade. (use que quando ) ) encontre expressão de v como função de t . b) Usando agora que se quando ache x como função de . c)ache como funçãó de t.(ache a constante de integração considerando que se .)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre movimento retilíneo onde a aceleração da partícula é proporcional à sua velocidade. Isso está dentro da matéria de cinemática, uma parte da física. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de derivadas e integrais, já que estamos lidando com velocidade, aceleração e posição em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a aceleração é proporcional à velocidade . Matemáticamente, isso se escreve como:
Onde é a constante de proporcionalidade.
Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, podemos substituir na primeira equação:

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver separando as variáveis:
Integrando os dois lados:
O que resulta em:
Onde é a constante de integraç��o.

Passo 4

Para encontrar em função de , vamos isolar :
Podemos chamar de (constante), então:

Passo 5

Agora, para a parte b, queremos achar como função de , sabendo que quando .
Sabemos que velocidade é a derivada da posição:
Mas queremos . Usando a regra da cadeia:
Sabemos que , então:
Simplificando:

Integração:

Integrando ambos os lados:
Usando a condição quando :
Então:

Passo 6

Finalmente, para a parte c, precisamos achar como função de . Já temos e .
Vamos substituir em :
Agora, usamos a condição que quando . Ao substituir :
Isso confirma que nossa constante de integração está correta.

Resposta

A expressão de em função de é:

Exercícios relacionados

Uma partícula se movimenta em linha reta sob a ação de uma força dependente do tempo de acordo com a expressão abaixo:

De acordo com o que foi dado calcule:
a) A expressão da variação do momento linear da partícula.
b) O impulso da força resultante atuante na partícula entre os instantes 2 s e 4 s .
Uma partícula move-se em linha reta com . Quando xé igual a 3. Calcule a aceleração quando ; Calcule a aceleração quando s;g
Uma partícula é lançada com velocidade a partir de um ponto fixo , movendo-se em uma linha reta OX. A desaceleração é é proporcional a v, onde v é a velocidade quando sua distância de O é x. (chame de b a constante de proporcionalidade). a) mostre que umà constante quando ).
quando . Calcule quando e encontre quando .