• Uma partícula de massa m=10 kg, que se desloca ao longo do eixo x horizontal, tem energia potencial U, em função da posição, dada por U(x)=x^3-36 x, onde x é dado em metros e U em Joules. Considere que o atrito seja desprezível.
    a) Encontre os pontos de equilíbrio desse potencial. Eles são estáveis ou instáveis?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula com massa de 10, kg que se move ao longo do eixo x horizontal. A energia potencial dessa partícula é dada pela função U(x) = x^3 - 36x, onde x está em metros e U em Joules. A gente precisa encontrar os pontos de equilíbrio desse potencial e descobrir se eles são estáveis ou instáveis. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas, que ajudam a identificar esses pontos de equilíbrio e analisar sua estabilidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que são pontos de equilíbrio. Eles são os pontos onde a força resultante na partícula é zero, ou seja, onde a partícula pode “ficar parada” sem se mover. Matematicamente, isso acontece quando a derivada da energia potencial em relação a x é igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função U(x) em relação a x. A função dada é:
U(x) = x^3 - 36x
A derivada de U(x), que representamos por U'(x), é:
U'(x) = dUdx = 3x^2 - 36

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos de equilíbrio, igualamos a derivada a zero:
U'(x) = 0 3x^2 - 36 = 0

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de x:
3x^2 - 36 = 0 3x^2 = 36 x^2 = 363 x^2 = 12 x = pm raiz12 x = pm 2raiz3 , metros
Então, os pontos de equilíbrio estão em x = 2raiz3, m e x = -2raiz3, m.

Passo 6

Agora que temos os pontos de equilíbrio, precisamos saber se eles são estáveis ou instáveis. Para isso, analisamos a segunda derivada da função U(x), que nos dá informação sobre a concavidade da função naquele ponto.

Passo 7

Calculamos a segunda derivada de U(x):
U''(x) = d^2Udx^2 = 6x

Passo 8

Avaliamo a segunda derivada nos pontos de equilíbrio:
  1. Para x = 2raiz3, m:
U''(2raiz3) = 6 times 2raiz3 = 12raiz3 > 0
Como a segunda derivada é positiva, indica que a concavidade é para cima, o que significa que o ponto é estável.
  1. Para x = -2raiz3, m:
U''(-2raiz3) = 6 times (-2raiz3) = -12raiz3 < 0
Aqui, a segunda derivada é negativa, indicando que a concavidade é para baixo, o que significa que o ponto é instável.

Resposta

Os pontos de equilíbrio estão em x = 2raiz3, m, que é estável, e em x = -2raiz3, m, que é instável.

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