- Uma partícula de massa
, que se desloca ao longo do eixo
horizontal, tem energia potencial
, em função da posição, dada por
, onde
é dado em metros e
em Joules. Considere que o atrito seja desprezível.
a) Encontre os pontos de equilíbrio desse potencial. Eles são estáveis ou instáveis?
a) Encontre os pontos de equilíbrio desse potencial. Eles são estáveis ou instáveis?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula com massa de
que se move ao longo do eixo
horizontal. A energia potencial dessa partícula é dada pela função
, onde
está em metros e
em Joules. A gente precisa encontrar os pontos de equilíbrio desse potencial e descobrir se eles são estáveis ou instáveis. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas, que ajudam a identificar esses pontos de equilíbrio e analisar sua estabilidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que são pontos de equilíbrio. Eles são os pontos onde a força resultante na partícula é zero, ou seja, onde a partícula pode “ficar parada” sem se mover. Matematicamente, isso acontece quando a derivada da energia potencial em relação a
é igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função
em relação a
. A função dada é:
A derivada de
, que representamos por
, é:
Passo 4
Agora, para encontrar os pontos de equilíbrio, igualamos a derivada a zero:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
:
Então, os pontos de equilíbrio estão em
e
.
Passo 6
Agora que temos os pontos de equilíbrio, precisamos saber se eles são estáveis ou instáveis. Para isso, analisamos a segunda derivada da função
, que nos dá informação sobre a concavidade da função naquele ponto.
Passo 7
Calculamos a segunda derivada de
:
Passo 8
Avaliamo a segunda derivada nos pontos de equilíbrio:
- Para
:
Como a segunda derivada é positiva, indica que a concavidade é para cima, o que significa que o ponto é estável.
- Para
:
Aqui, a segunda derivada é negativa, indicando que a concavidade é para baixo, o que significa que o ponto é instável.
Resposta
Os pontos de equilíbrio estão em
, que é estável, e em
, que é instável.