Suponha que uma carga está distribuída de forma homogênea em um anel de raio . Determine (a) o campo elétrico em um ponto localizado no centro do anel,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma carga distribuída de forma uniforme em um anel de raio . A pergunta é: qual é o campo elétrico nesse ponto que está exatamente no centro do anel? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre campo elétrico e como ele se comporta em distribuições simétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico devido a uma carga pontual é dado pela fórmula:
onde:
  • é a carga,
  • é a distância até o ponto onde queremos calcular o campo,
  • é o vetor unitário na direção de ,
  • é a permissividade do vácuo.

Passo 3

No nosso caso, como a carga está distribuída em um anel, vamos imaginar que o anel está no plano xy, e o ponto onde queremos calcular o campo está na origem, ou seja, no centro do anel. Por causa da simetria, cada pequeno pedaço de carga no anel terá um pedaço oposto que vai cancelar a componente horizontal do campo elétrico.

Passo 4

Vamos considerar um elemento infinitesimal de carga no anel. A distância desse elemento até o centro é sempre . O campo elétrico devido a no centro é:
Mas, como mencionei antes, as componentes horizontais se cancelam devido à simetria.

Passo 5

Então, efetivamente, só resta a componente vertical do campo elétrico. Contudo, no centro do anel, todas as componentes verticais de cada elemento de carga também se cancelam, pois para cada que puxa para cima, tem outro que puxa para baixo com a mesma intensidade.

Passo 6

Somando todas essas contribuições, percebemos que todas se cancelam completamente. Portanto, o campo elétrico resultante no centro do anel é zero.

Resposta

O campo elétrico no centro do anel é zero.

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