Suponha que uma certa quantidade de carga se distribui de forma homogênea em um plano infinito horizontal.
(b) Se uma partícula de carga e massa encontra-se em repouso, flutuando em um ponto próximo ao plano carregado, qual deve ser a densidade superficial de carga do plano?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um plano infinito horizontal com uma carga uniforme de . Queremos descobrir qual deve ser a densidade superficial de carga desse plano para que uma partícula com carga e massa fique em repouso, flutuando perto do plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como a força elétrica atua sobre a partícula e como ela se equilibra com a força da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade superficial de carga em um plano infinito cria um campo elétrico uniforme. A fórmula para o campo elétrico gerado por um plano infinito com densidade superficial de carga é:
onde é a permissividade do vácuo, uma constante que vale aproximadamente .

Passo 3

A partícula de carga está em repouso, o que significa que a força elétrica que atua sobre ela deve estar equilibrando a força da gravidade. A força da gravidade ( ) que puxa a partícula para baixo é dada por:
onde é a aceleração da gravidade, aproximadamente .

Passo 4

A força elétrica ( ) que atua sobre a partícula devido ao campo elétrico do plano é dada por:
Como a carga da partícula é negativa e o campo elétrico está direcionado para o plano (devido à carga negativa do plano), a força elétrica agirá na direção oposta ao campo, ou seja, para cima, equilibrando a gravidade.

Passo 5

Para que a partícula permaneça em repouso, as forças devem se equilibrar:
Substituindo as equações das forças:

Passo 6

Agora, substituímos a expressão do campo elétrico na equação:

Passo 7

Queremos encontrar , então vamos isolar :

Resposta

A densidade superficial de carga do plano deve ser:

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Suponha que uma carga está distribuída de forma homogênea em um anel de raio . Determine (a) o campo elétrico em um ponto localizado no centro do anel,
Uma partícula de massa m está no estado
em que e são constantes reais e positivas. Esta função de onda é solução da equação de Schrödinger unidimensional para o potencial .
Calcule o valor médio da energia neste estado. Use que .
Mostre porque a molécula é paramagnética.
Escreva a 2 Lei de Newton para esse corpo em queda e obtenha uma expressão para a aceleração de queda (use para a aceleração da gravidade);