Suponha que uma certa quantidade de carga -Q se distribui de forma homogênea em um plano infinito horizontal.
(b) Se uma partícula de carga -q e massa m encontra-se em repouso, flutuando em um ponto próximo ao plano carregado, qual deve ser a densidade superficial de carga sigma do plano?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um plano infinito horizontal com uma carga uniforme de -Q. Queremos descobrir qual deve ser a densidade superficial de carga sigma desse plano para que uma partícula com carga -q e massa m fique em repouso, flutuando perto do plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como a força elétrica atua sobre a partícula e como ela se equilibra com a força da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade superficial de carga sigma em um plano infinito cria um campo elétrico uniforme. A fórmula para o campo elétrico E gerado por um plano infinito com densidade superficial de carga sigma é:
E = sigma2varepsilon0
onde varepsilon0 é a permissividade do vácuo, uma constante que vale aproximadamente 8,85 times 10^-12 , C^2/Ncdotm^2.

Passo 3

A partícula de carga -q está em repouso, o que significa que a força elétrica que atua sobre ela deve estar equilibrando a força da gravidade. A força da gravidade ( Fg) que puxa a partícula para baixo é dada por:
Fg = m cdot g
onde g é a aceleração da gravidade, aproximadamente 9,81 , m/s^2.

Passo 4

A força elétrica ( Fe) que atua sobre a partícula devido ao campo elétrico do plano é dada por:
Fe = q cdot E
Como a carga da partícula é negativa e o campo elétrico está direcionado para o plano (devido à carga negativa do plano), a força elétrica agirá na direção oposta ao campo, ou seja, para cima, equilibrando a gravidade.

Passo 5

Para que a partícula permaneça em repouso, as forças devem se equilibrar:
Fe = Fg
Substituindo as equações das forças:
q cdot E = m cdot g

Passo 6

Agora, substituímos a expressão do campo elétrico E na equação:
q cdot ( sigma2varepsilon0 ) = m cdot g

Passo 7

Queremos encontrar sigma, então vamos isolar sigma:
sigma = 2varepsilon0 m gq

Resposta

A densidade superficial de carga sigma do plano deve ser:
sigma = 2varepsilon0 m gq

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