Uma partícula de massa é abandonada em A. Calcular a reação normal quando ele passa pela posição C na superfície da curvatura . Não há atrito e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa m = 2 kg que é solta no ponto A e passa pelo ponto C em uma superfície curva com raio de curvatura 2R. Queremos calcular a força normal que atua sobre a partícula quando ela está no ponto C. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de cinemática e dinâmica circular, além da conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na conservação da energia. Como não há atrito, a energia mecânica da partícula se conserva. Isso significa que a energia potencial gravitacional no ponto A será convertida em energia cinética no ponto C. A fórmula da energia potencial gravitacional é:
E a energia cinética é:
Aqui, h é a altura da qual a partícula foi solta em relação ao ponto C.

Passo 3

Vamos assumir que o ponto A está a uma altura igual ao raio de curvatura, ou seja, h = 2R. Assim, a energia potencial no ponto A é:
No ponto C, toda essa energia potencial se converte em energia cinética:
Pelo princípio da conservação de energia:

Passo 4

Substituindo as expressões:
Podemos simplificar dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Então, a velocidade no ponto C é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a força normal no ponto C. No ponto C, a partícula está realizando um movimento circular, então há uma aceleração centrípeta que é dada por:
Onde r é o raio da curva, que no nosso caso é 2R.
A força normal N é a força que a superfície exerce sobre a partícula, e ela precisa fornecer a força centrípeta além de equilibrar o peso da partícula. Portanto, a equação das forças na direção vertical fica:
Substituindo :

Passo 6

Já sabemos que , então substituindo na equação:
Simplificando :
Somando em ambos os lados:

Resposta

A reação normal no ponto C é:
²

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