Uma partícula de massa m=2 kg é abandonada em A. Calcular a reação normal quando ele passa pela posição C na superfície da curvatura 2 R. Não há atrito e g=10 m / s^2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa m = 2 kg que é solta no ponto A e passa pelo ponto C em uma superfície curva com raio de curvatura 2R. Queremos calcular a força normal que atua sobre a partícula quando ela está no ponto C. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de cinemática e dinâmica circular, além da conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na conservação da energia. Como não há atrito, a energia mecânica da partícula se conserva. Isso significa que a energia potencial gravitacional no ponto A será convertida em energia cinética no ponto C. A fórmula da energia potencial gravitacional é:
Ep = m g h
E a energia cinética é:
Ec = 12 m v^2
Aqui, h é a altura da qual a partícula foi solta em relação ao ponto C.

Passo 3

Vamos assumir que o ponto A está a uma altura igual ao raio de curvatura, ou seja, h = 2R. Assim, a energia potencial no ponto A é:
EpA = m g h = m g (2R)
No ponto C, toda essa energia potencial se converte em energia cinética:
EcC = 12 m v^2
Pelo princípio da conservação de energia:
EpA = EcC

Passo 4

Substituindo as expressões:
m g (2R) = 12 m v^2
Podemos simplificar g (2R) = 12 v^2 dos dois lados:
4 g R = v^2
Multiplicando ambos os lados por 2:
v = raiz4 g R = 2 raizg R
Então, a velocidade no ponto C é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a força normal no ponto C. No ponto C, a partícula está realizando um movimento circular, então há uma aceleração centrípeta que é dada por:
ac = v^2r
Onde r é o raio da curva, que no nosso caso é 2R.
A força normal N é a força que a superfície exerce sobre a partícula, e ela precisa fornecer a força centrípeta além de equilibrar o peso da partícula. Portanto, a equação das forças na direção vertical fica:
N - m g = m ac
Substituindo N - m g = m ( v^22R ) :

Passo 6

Já sabemos que N - m g = m ( 4 g R2R ) , então substituindo na equação:
N - m g = m (2 g)
Simplificando N = m g + 2 m g = 3 m g :
Somando em ambos os lados:

Resposta

A reação normal no ponto C é:
N = 3 m g = 3 times 2, kg times 10, m/s² = 60, N ²

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