Três vetores são dados por a=3 i+3 j-2 k, b=-1 i-4 j+2 k e c=2 i+2 j-1 k. Determine: (a) a cdot(b times c).

Passo 1

Então, a gente tem três vetores: a=3 i+3 j-2 k, b=-1 i-4 j+2 k e c=2 i+2 j-1 k. A gente precisa calcular o produto escalar de a com o produto vetorial de b e c, ou seja, a cdot(b times c). Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o produto vetorial e o produto escalar de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial b times c. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
b times c = i & j & k -1 & -4 & 2 2 & 2 & -1

Passo 3

Vamos calcular o determinante dessa matriz:
b times c = i cdot -4 & 2 2 & -1 - j cdot -1 & 2 2 & -1 + k cdot -1 & -4 2 & 2
Calculando cada determinante:
-4 & 2 2 & -1 = (-4)(-1) - (2)(2) = 4 - 4 = 0
-1 & 2 2 & -1 = (-1)(-1) - (2)(2) = 1 - 4 = -3
-1 & -4 2 & 2 = (-1)(2) - (-4)(2) = -2 + 8 = 6
Então:
b times c = 0,i - (-3)j + 6,k = 0,i + 3,j + 6,k

Passo 4

Agora que temos o produto vetorial b times c = 0,i + 3,j + 6,k, vamos calcular o produto escalar com a. O produto escalar entre dois vetores u = u1i + u2j + u3k e v = v1i + v2j + v3k é dado por:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3

Passo 5

Aplicando isso aos nossos vetores:
a cdot (b times c) = (3)(0) + (3)(3) + (-2)(6) = 0 + 9 - 12 = -3

Resposta

a cdot(b times c) = -3

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