A posição de uma partícula é dada como função do tempo por s(t) = 1 - 3t + t^2 + 3t^3 de modo unidimensional.
(g) Em que instantes de tempo a partícula tem seu sentido negativo em relação ao sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o movimento de uma partícula. A gente tem a posição da partícula em função do tempo dada por . O que precisamos descobrir aqui é em que momentos de tempo a partícula está se movendo na direção negativa em relação ao sistema. Para isso, vamos precisar entender como obter a velocidade a partir da posição e determinar quando essa velocidade é negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade da partícula é a derivada da função posição em relação ao tempo. Ou seja, se é a posição, então a velocidade é:

Passo 3

Agora, vamos calcular essa derivada. A função posição é . Derivando cada termo:
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora queremos saber quando a velocidade é negativa, ou seja, quando:
Para resolver essa inequação, vamos primeiro achar as raízes da equação quadrática associada:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:
Então,
As soluções são:

Passo 5

Agora, vamos analisar os intervalos onde a função quadrática é negativa. Sabemos que, como o coeficiente de é positivo, o gráfico da parábola abre para cima. Portanto, a função será negativa entre as duas raízes encontradas.
Então, a solução da inequação é:

Resposta

A partícula tem sentido negativo no intervalo de tempo entre e .

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