Uma partícula de massa m move-se no plano x y, de modo que seu vetor posição é r(t)=a cos (omega t) i+b sen(omega t) , onde a, b e omega sâo constantes positivas e a> b. (e) Considerando a=3 m, b=2 m, omega=2 pi f, f=60 Hz, t=1 / 480 s, m=0,5 Kg e 1 Hz=s^-1, ache a posição, a velocidade, a aceleração e a força da particula. Use as unidades: metro, segundos e quilogramas. I m, a

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a posição, velocidade, aceleração e força de uma partícula que se move no plano XY. Estamos trabalhando com conceitos de Cinemática e Dinâmica. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas para derivar a velocidade e a aceleração a partir da posição, e depois usar a segunda lei de Newton para encontrar a força. Vamos utilizar os valores fornecidos: , , , , .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição da partícula no instante r(t) = a cos(omega t) i + b sen(omega t) j . A posição é dada por:
Sabemos que omega = 2pi times 60 = 120pi,rad/s , então:
r(1480) = 3 cos(120pi times 1480) i + 2 sen(120pi times 1480) j
Agora, substituindo os valores:
Simplificando o argumento das funções trigonométricas:
120pi times 1480 = 120pi480 = pi4
Então:
Sabendo que :
r(1480) = 3 cos(pi4) i + 2 sen(pi4) j

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Substituindo os valores:
Calculando:
v(t) = dr(t)dt = -a omega sen(omega t) i + b omega cos(omega t) j

Passo 4

Vamos determinar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Substituindo os valores:
Calculando:
a(t) = dv(t)dt = -a omega^2 cos(omega t) i - b omega^2 sen(omega t) j
a(1480) = -3 times (120pi)^2 times cos(pi4) i - 2 times (120pi)^2 times sen(pi4) j

Passo 5

Por fim, vamos calcular a força atuando na partícula usando a segunda lei de Newton:
F = m a
Substituindo os valores:
F = 0,5 times (-21600pi^2raiz2 i - 14400pi^2raiz2 j)
F = -10800pi^2raiz2 i - 7200pi^2raiz2 j,N

Resposta

A posição, velocidade, aceleração e força da partícula no instante r(1480) = 3raiz22 i + raiz2 j,m são:
v(1480) = -180piraiz2 i + 120piraiz2 j,m/s
a(1480) = -21600pi^2raiz2 i - 14400pi^2raiz2 j,m/s^2
F = -10800pi^2raiz2 i - 7200pi^2raiz2 j,N

Exercícios relacionados