Uma partícula de massa m move-se no plano x y, de modo que seu vetor posição é r(t)=a cos (omega t) i+b sen(omega t) , onde a, b e omega sâo constantes positivas e a> b. © Obtenha a aceleração da particula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que temos uma partícula de massa r(t) = a cos(omega t) , i + b sin(omega t) , j, se movendo no plano com a posição dada por
onde , e são constantes positivas e . A gente precisa encontrar a aceleração dessa partícula. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento sem se preocupar com as causas desse movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, para achar a velocidade da partícula, vamos derivar v(t) = dr(t)dt em relação a ddt[a cos(omega t)] = -a omega sin(omega t), :
ddt[b sin(omega t)] = b omega cos(omega t)
Vamos fazer isso para cada componente:
v(t) = -a omega sin(omega t) , i + b omega cos(omega t) , j
Então, a velocidade é:

Passo 3

Agora que temos a velocidade, lembramos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar a(t) = dv(t)dt :
ddt[-a omega sin(omega t)] = -a omega^2 cos(omega t),
Derivando cada componente:
ddt[b omega cos(omega t)] = -b omega^2 sin(omega t)
a(t) = -a omega^2 cos(omega t) , i - b omega^2 sin(omega t) , j
Então, a aceleração é:

Resposta

A aceleração da partícula é
a(t) = -a omega^2 cos(omega t) , i - b omega^2 sin(omega t) , j

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