Uma partícula de massa de 1 kg , presa a uma mola, cujo valor constante de mola vale k[N / m], desenvolve um movimento amortecido forçado de acordo com a equação diferencial escrita em notação complexa
d^2 xd t^2+2 gamma d^2 xd t^2+omega0^2 x=F0m e^-omega t i
em que F0 é um número real e x(t)=Re[x(t)]. A solução particular é dada por
xP(t)=F0nraiz(omega0^2-omega^2)^2+0,04 omega^2 cos (omega t),
ou então
xP(t)=x0 cos (omega t),
em que x0 é a amplitude do movimento, após um tempo longo. O valor da frequência natural de oscilação vale 0,224 rad / s. A partir de um determinado instante uma força F(t)=Re[e^-omega t i] passa atuar no corpo, que inicialmente está governado pela equação geral do oscilador harmônico amortecido. As condições iniciais para a equação diferencial homogênea associada são , x(0)=0 mev v0=10 m / s.
a) Determine o valor do coeficiente de amortecimento e da constante elástica da mola.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula de 1 kg presa a uma mola com constante elástica [N/m]. Essa partícula está fazendo um movimento oscilatório que é amortecido e também está sendo forçado por uma força externa. A equação diferencial que descreve esse movimento envolve a massa, o coeficiente de amortecimento e a frequência natural . Nosso objetivo é encontrar os valores de e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de oscilações harmônicas amortecidas e forçadas, além de aplicar as condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a frequência natural omega0 = raizkm . Ela está relacionada à constante elástica k = m omega0^2 e à massa k = 1 times (0,224)^2 = 1 times 0,050176 = 0,050176 , N/m pela fórmula:
Sabemos que e . Vamos isolar :
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos determinar o coeficiente de amortecimento d^2 xd t^2 + 2 gamma d xd t + omega0^2 x = F0m e^-iomega t . A equação diferencial dada é:
d^2 xd t^2 + 2 gamma d xd t + omega0^2 x = 0
Para encontrar x(t) = e^-gamma t ( A cos(omega' t) + B sin(omega' t) ) , precisamos analisar a parte homogênea da equação:
x(0) = A = 0
A solução geral dessa equação envolve exponenciais com v(0) = dxdtg|t=0 = -gamma A + omega' B = 10 , m/s . Mas como temos condições iniciais específicas ( omega' B = 10 e omega' = raizomega0^2 - gamma^2 ), podemos usar essas informações para encontrar B = 10raizomega0^2 - gamma^2 .
Sabemos que a velocidade inicial está relacionada ao coeficiente de amortecimento. Sem uma força externa atuando, a solução da equação homogênea para é:
onde .
Aplicando as condições iniciais:
Para :
Para :
Como :
Mas também sabemos que:
Então:
Para determinar , precisaríamos de mais informações ou de outra equação que relacione com outros parâmetros do sistema. Porém, como não temos valores adicionais, vamos considerar que o sistema está no regime subamortecido, onde é real.

Passo 4

Usando a solução particular fornecida:
xP(t) = F0nraiz(omega0^2 - omega^2)^2 + 0,04 omega^2 cos(omega t)
Sabemos que, em regime estacionário, a amplitude da oscilação é:
x0 = F0nraiz(omega0^2 - omega^2)^2 + (2gamma omega)^2
Comparando com a solução dada:
(omega0^2 - omega^2)^2 + (2gamma omega)^2 = (omega0^2 - omega^2)^2 + 0,04 omega^2
Isso implica que:
(2gamma)^2 = 0,04 implies 4gamma^2 = 0,04 implies gamma^2 = 0,01 implies gamma = 0,1 , kg/s

Resposta

O coeficiente de amortecimento é e a constante elástica da mola é .

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