Uma partícula de massa de 1 kg , presa a uma mola, cujo valor constante de mola vale , desenvolve um movimento amortecido forçado de acordo com a equação diferencial escrita em notação complexa
em que é um número real e . A solução particular é dada por
ou então
em que é a amplitude do movimento, após um tempo longo. O valor da frequência natural de oscilação vale . A partir de um determinado instante uma força passa atuar no corpo, que inicialmente está governado pela equação geral do oscilador harmônico amortecido. As condições iniciais para a equação diferencial homogênea associada são , .
a) Determine o valor do coeficiente de amortecimento e da constante elástica da mola.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula de 1 kg presa a uma mola com constante elástica [N/m]. Essa partícula está fazendo um movimento oscilatório que é amortecido e também está sendo forçado por uma força externa. A equação diferencial que descreve esse movimento envolve a massa, o coeficiente de amortecimento e a frequência natural . Nosso objetivo é encontrar os valores de e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de oscilações harmônicas amortecidas e forçadas, além de aplicar as condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a frequência natural . Ela está relacionada à constante elástica e à massa pela fórmula:
Sabemos que e . Vamos isolar :
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos determinar o coeficiente de amortecimento . A equação diferencial dada é:
Para encontrar , precisamos analisar a parte homogênea da equação:
A solução geral dessa equação envolve exponenciais com . Mas como temos condições iniciais específicas ( e ), podemos usar essas informações para encontrar .
Sabemos que a velocidade inicial está relacionada ao coeficiente de amortecimento. Sem uma força externa atuando, a solução da equação homogênea para é:
onde .
Aplicando as condições iniciais:
Para :
Para :
Como :
Mas também sabemos que:
Então:
Para determinar , precisaríamos de mais informações ou de outra equação que relacione com outros parâmetros do sistema. Porém, como não temos valores adicionais, vamos considerar que o sistema está no regime subamortecido, onde é real.