Uma partícula de massa m=1,5 kg está sob a ação de uma certa força externa em um plano euclidiano. Sabendo-se que o movimento é dado pela relação r(t)=2[cos (3 t) i+sin (3 t) j], é correto dizer que o trabalho realizado por esta força entre os instantes t1=0 s e t2=30 s é

a) 4,75 J, <br> b) 3,50 J <br> c) 2,25 J <br> d) 1,5 J <br> e) 0 J

Passo 1

Então, temos uma partícula com massa de movendo-se num plano. A posição dela em função do tempo é dada por . O que queremos descobrir é o trabalho que uma força externa realiza nessa partícula entre os tempos e . Vamos precisar usar conceitos de movimento vetorial, velocidades, acelerações e a definição de trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t) = dr(t)dt = 2[-3sin(3t) i + 3cos(3t) j] = -6sin(3t) i + 6cos(3t) j

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração, que é a derivada da velocidade:
a(t) = dv(t)dt = -6 cdot 3cos(3t) i - 6 cdot 3sin(3t) j = -18cos(3t) i - 18sin(3t) j

Passo 4

Com a aceleração conhecida, podemos determinar a força usando a segunda lei de Newton, F(t) = 1,5 times (-18cos(3t) i - 18sin(3t) j) = -27cos(3t) i - 27sin(3t) j , N :

Passo 5

O trabalho realizado pela força é dado pela integral do produto escalar da força pela velocidade no intervalo de tempo considerado:
W = integral0^30 F(t) cdot v(t) , dt
Calculando o produto escalar:
F(t) cdot v(t) = (-27cos(3t))( -6sin(3t)) + (-27sin(3t))(6cos(3t)) = 162cos(3t)sin(3t) - 162sin(3t)cos(3t) = 0
Portanto:
W = integral0^30 0 , dt = 0 , J

Resposta

e)

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