Uma partícula de massa m e carga q está num campo elétrico constante e uniforme, E= Ey y+Ez z, sofrendo uma indução magnética constante e uniforme B=B z B, Ey e Ez são constantes.
b) Obtenha z(t), x(t) e y(t).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa e carga que está dentro de um campo elétrico constante e uniforme e também submetida a um campo magnético constante e uniforme . A tarefa é encontrar as funções , e que descrevem a posição da partícula em função do tempo.
Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de Newton aplicadas à força resultante que atua na partícula, levando em conta tanto a força elétrica quanto a força magnética (força de Lorentz). Também vamos precisar integrar as equações de movimento para encontrar as posições em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a força que atua na partícula. A força elétrica FE = q E = q (Ey y + Ez z) é dada por:
FB = q v times B
A força magnética é dada pela força de Lorentz:
Onde é a velocidade da partícula.

Passo 3

Vamos expressar a velocidade v = vx x + vy y + vz z em termos das componentes nas direções v times B = x & y & z vx & vy & vz 0 & 0 & B = (vy B) x - (vx B) y , FB = q (vy B x - vx B y) e :
Agora, calculamos o produto vetorial :
Então, a força magnética fica:

Passo 4

A força total F = FE + FB = q (Ey y + Ez z) + q (vy B x - vx B y) que atua na partícula é a soma das forças elétrica e magnética:
m dvdt = q (vy B x + (Ey - vx B) y + Ez z)
De acordo com a segunda lei de Newton, , onde é a aceleração da partícula. Então temos:

Passo 5

Vamos separar as equações para cada componente:
Para a direção m dvxdt = q vy B implies dvxdt = q Bm vy :
m dvydt = q (Ey - vx B) implies dvydt = q Eym - q Bm vx
Para a direção m dvzdt = q Ez implies dvzdt = q Ezm :
Para a direção :

Passo 6

Vamos resolver cada uma dessas equações diferencialmente.
Primeiro, para dvzdt = q Ezm implies vz(t) = q Ezm t + C1 :
vz(t) = q Ezm t
Assumindo que a velocidade inicial em z(t) = integral vz(t) dt = q Ez2 m t^2 + C2 é zero ( z(t) = q Ez2 m t^2 ):
Integrando para encontrar :
Com :

Passo 7

Agora, vamos resolver para d^2 vxdt^2 = q Bm dvydt = q Bm ( q Eym - q Bm vx ) e d^2 vxdt^2 + ( q^2 B^2m^2 ) vx = q^2 B Eym^2 . Observando que as equações para vx(t) = EyB + A cos(q Bm t) + C sin(q Bm t) e vx(t) = EyB ( 1 - cos(q Bm t) ) estão acopladas, podemos derivar uma segunda equação diferencial para cada.
Derivando a equação de x(t) = EyB t - EyB cdot mq B sin(q Bm t) + C3 :
x(t) = EyB t - m Eyq B^2 sin(q Bm t)
Simplificando:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução particular .
A solução geral para é:
Assumindo condições iniciais e , encontramos e . Então:
Integrando para :
Com :

Passo 8

Para vy(t) = q Eym t - q Bm integral vx(t) dt , usamos a relação:
vy(t) = q Eym t - q Bm ( EyB t + m Eyq B^2 cos(q Bm t) ) + C4
Substituindo vy(t) = -EyB cos(q Bm t) + C4 :
vy(t) = EyB (1 - cos(q Bm t))
Simplificando:
y(t) = EyB t - EyB cdot mq B sin(q Bm t) + C5
Assumindo y(t) = EyB t - m Eyq B^2 sin(q Bm t) , temos . Então:
Integrando para :
Com :

Resposta

As posições em função do tempo são dadas por:
z(t) = q Ez2 m t^2
x(t) = EyB t - m Eyq B^2 sin(q Bm t)
y(t) = EyB t - m Eyq B^2 sin(q Bm t)

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