Uma partícula de massa m move-se sob a ação de uma força central com energia potencial
$$
V=k r^{4}$$
com V=k r^4 e momento angular k>0.
a) Esboce gráficos do potencial efetivo L versus V^prime(r) para os seguintes casos: i) r k>0 e; ii) L neq 0 e k<0. Para qual destes casos podem ocorrer órbitas fechadas?

Passo 1

Ok, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente analisar como a energia potencial efetiva se comporta quando uma partícula está sujeita a uma força central com energia potencial , considerando também o momento angular . A matéria aqui envolve mecânica clássica, especificamente o estudo de movimentos sob forças centrais e energia potencial efetiva. Vamos precisar entender como calcular a energia potencial efetiva e como ela depende de , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a energia potencial efetiva. Em movimentos sob uma força central, a energia total da partícula pode ser dividida em energia cinética radial, energia cinética angular e energia potencial. A energia potencial efetiva V'(r) = V(r) + L^22 m r^2 é dada por:
Aqui, é a energia potencial da força central, é o momento angular, é a massa da partícula, e é a distância ao centro.

Passo 3

No nosso caso, a energia potencial V'(r) = k r^4 + L^22 m r^2 . Então, substituindo na fórmula da energia potencial efetiva:
Vamos analisar como cada termo contribui para o comportamento de em função de .

Passo 4

Vamos considerar os dois casos:
i) e
ii) e
Para cada caso, vamos esboçar o gráfico de versus .

Passo 5

Caso i) e :
Aqui, ambos os termos em são positivos:
  • cresce rapidamente quando aumenta.
  • diminui quando aumenta, mas nunca se torna negativa.
Então, tem um comportamento que começa alto para próximo de zero devido ao termo , desce a medida que aumenta, atinge um mínimo e depois cresce novamente por causa de .
Caso ii) e :
Aqui, o primeiro termo é negativo e tende a conforme aumenta. Já o segundo termo permanece positivo e diminui com .
Então, começa alto para pequeno devido a , mas à medida que aumenta, o termo negativo domina, fazendo tender a .

Passo 6

Agora, sobre as órbitas fechadas. Segundo a teoria, órbitas fechadas ocorrem quando a energia potencial efetiva tem um mínimo estável, permitindo que a partícula oscile ao redor desse ponto de equilíbrio.
No caso i) e , como vimos, possui um mínimo. Isso significa que podem existir órbitas fechadas.
No caso ii) e , não tem um mínimo estável, pois tende a quando aumenta. Portanto, não há órbitas fechadas nesse caso.

Resposta

Para o caso i) e , o gráfico de versus apresenta um mínimo, permitindo a ocorrência de órbitas fechadas. Já no caso ii) e , o gráfico de decresce sem um mínimo estável, impedindo a formação de órbitas fechadas. Portanto, somente no caso i) e podem ocorrer órbitas fechadas.

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