Uma partícula de massa
move-se sob a ação de uma força central com energia potencial
$$
V=k r^{4}$$
com
e momento angular
.
a) Esboce gráficos do potencial efetivo
versus
para os seguintes casos: i)
; ii)
e
. Para qual destes casos podem ocorrer órbitas fechadas?
com
a) Esboce gráficos do potencial efetivo
Passo 1
Ok, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente analisar como a energia potencial efetiva
se comporta quando uma partícula está sujeita a uma força central com energia potencial
, considerando também o momento angular
. A matéria aqui envolve mecânica clássica, especificamente o estudo de movimentos sob forças centrais e energia potencial efetiva. Vamos precisar entender como calcular a energia potencial efetiva e como ela depende de
,
, e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a energia potencial efetiva. Em movimentos sob uma força central, a energia total da partícula pode ser dividida em energia cinética radial, energia cinética angular e energia potencial. A energia potencial efetiva
é dada por:
Aqui,
é a energia potencial da força central,
é o momento angular,
é a massa da partícula, e
é a distância ao centro.
Passo 3
No nosso caso, a energia potencial
. Então, substituindo na fórmula da energia potencial efetiva:
Vamos analisar como cada termo contribui para o comportamento de
em função de
.
Passo 4
Vamos considerar os dois casos:
i)
e
ii)
e
Para cada caso, vamos esboçar o gráfico de
versus
.
Passo 5
Caso i)
e
:
Aqui, ambos os termos em
são positivos:
-
cresce rapidamente quando aumenta. -
diminui quando aumenta, mas nunca se torna negativa.
Então,
tem um comportamento que começa alto para
próximo de zero devido ao termo
, desce a medida que
aumenta, atinge um mínimo e depois cresce novamente por causa de
.
Caso ii)
e
:
Aqui, o primeiro termo
é negativo e tende a
conforme
aumenta. Já o segundo termo
permanece positivo e diminui com
.
Então,
começa alto para
pequeno devido a
, mas à medida que
aumenta, o termo negativo
domina, fazendo
tender a
.
Passo 6
Agora, sobre as órbitas fechadas. Segundo a teoria, órbitas fechadas ocorrem quando a energia potencial efetiva tem um mínimo estável, permitindo que a partícula oscile ao redor desse ponto de equilíbrio.
No caso i)
e
, como vimos,
possui um mínimo. Isso significa que podem existir órbitas fechadas.
No caso ii)
e
,
não tem um mínimo estável, pois tende a
quando
aumenta. Portanto, não há órbitas fechadas nesse caso.
Resposta
Para o caso i)
e
, o gráfico de
versus
apresenta um mínimo, permitindo a ocorrência de órbitas fechadas. Já no caso ii)
e
, o gráfico de
decresce sem um mínimo estável, impedindo a formação de órbitas fechadas. Portanto, somente no caso i)
e
podem ocorrer órbitas fechadas.