Uma partícula se move sob a ação de uma força central do tipo
$$
F=-\frac{k}{r^{3}}$$
.
a) Obtenha o potencial efetivo. Esboce gráficos do potencial efetivo para os ca
e
;
a) Obtenha o potencial efetivo. Esboce gráficos do potencial efetivo para os ca
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de uma partícula influenciada por uma força central da forma
, onde
. Isso está dentro do estudo de Dinâmica de Movimento em Física, especificamente envolvendo forças centrais e potenciais efetivos. Para resolver, a gente vai precisar entender o que é potencial efetivo e como ele se relaciona com a energia da partícula e o momento angular
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial efetivo
considera tanto o potencial da força central quanto a contribuição da força centrífuga devido ao movimento angular da partícula. A expressão geral é:
Aqui,
é o potencial da força central,
é o momento angular, e
é a massa da partícula.
Passo 3
A força
está relacionada ao potencial
pela relação:
Dado que
, podemos integrar para encontrar
:
Integrando ambos os lados:
Podemos escolher a constante
para simplificar, então:
Passo 4
Agora, substituímos
na expressão do potencial efetivo:
Então, o potencial efetivo é:
Passo 5
Agora, vamos analisar os três casos:
-
: O potencial efetivo será positivo e decresce conformeaumenta. -
: O potencial efetivo será negativo e aumenta em módulo conformeaumenta. -
: O potencial efetivo é zero, indicando que a força centrífuga e a força central se equilibram exatamente.
Passo 6
Para os gráficos:
-
: Um gráfico positivo que se aproxima de zero conforme aumenta. -
: Um gráfico negativo que se aproxima de zero de negativo conforme aumenta. -
: Uma linha reta no zero, indicando equilíbrio perfeito.
Resposta
O potencial efetivo é dado por
. Nos casos
,
e
, os gráficos do potencial efetivo apresentam comportamento positivo decrescente, negativo crescente e zero constante, respectivamente.