Uma partícula se move sob a ação de uma força central do tipo
$$
F=-\frac{k}{r^{3}}$$
F=-kr^3.
a) Obtenha o potencial efetivo. Esboce gráficos do potencial efetivo para os ca com k>0 e sos L^2>m k, L^2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de uma partícula influenciada por uma força central da forma , onde . Isso está dentro do estudo de Dinâmica de Movimento em Física, especificamente envolvendo forças centrais e potenciais efetivos. Para resolver, a gente vai precisar entender o que é potencial efetivo e como ele se relaciona com a energia da partícula e o momento angular .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial efetivo Vefetivo(r) = V(r) + L^22 m r^2 considera tanto o potencial da força central quanto a contribuição da força centrífuga devido ao movimento angular da partícula. A expressão geral é:
Aqui, é o potencial da força central, é o momento angular, e é a massa da partícula.

Passo 3

A força F(r) = -dVdr está relacionada ao potencial -dVdr = -kr^3 implies dVdr = kr^3 pela relação:
V(r) = integral kr^3 dr = -k2 r^2 + C
Dado que V(r) = -k2 r^2 , podemos integrar para encontrar :
Integrando ambos os lados:
Podemos escolher a constante para simplificar, então:

Passo 4

Agora, substituímos Vefetivo(r) = -k2 r^2 + L^22 m r^2 = L^2 - m k2 m r^2 na expressão do potencial efetivo:
Vefetivo(r) = L^2 - m k2 m r^2
Então, o potencial efetivo é:

Passo 5

Agora, vamos analisar os três casos:
  1. Vefetivo(r) = positivor^2 :
    Vefetivo(r) = negativor^2
    O potencial efetivo será positivo e decresce conforme Vefetivo(r) = 0 aumenta.
  2. :
    O potencial efetivo será negativo e aumenta em módulo conforme aumenta.
  3. :
    O potencial efetivo é zero, indicando que a força centrífuga e a força central se equilibram exatamente.

Passo 6

Para os gráficos:
  • : Um gráfico positivo que se aproxima de zero conforme aumenta.
  • : Um gráfico negativo que se aproxima de zero de negativo conforme aumenta.
  • : Uma linha reta no zero, indicando equilíbrio perfeito.

Resposta

O potencial efetivo é dado por . Nos casos , e , os gráficos do potencial efetivo apresentam comportamento positivo decrescente, negativo crescente e zero constante, respectivamente.

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