Resolva: ,

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a equação diferencial para o intervalo . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a isolar as variáveis e em lados diferentes da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . Temos:
Podemos dividir ambos os lados por e multiplicar por para isolar os termos:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de é , e a integral de pode ser resolvida usando uma substituição simples:
Integrando:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos resolver para . Primeiro, eliminamos o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Isso pode ser simplificado usando propriedades dos logaritmos e exponenciais:
Como é apenas uma constante, podemos chamá-la de :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante real.

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Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro:
Prove ou dê um contra-exemplo para cada uma das afirmações abaixo: © Se e são convergentes, então converge.
Nos problemas de 1 a 8, resolva as equações diferenciais dadas:
Uma partícula de massa desloca-se sobre o eixo sob a ação da força elástica e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade e dada por . Determine a posição de , da partícula no instante e discuta o movimento, supondo que: e .