Resolva: d y / d x = y / (x^2 - 2), -1 < x < 1,

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a equação diferencial para o intervalo . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a isolar as variáveis e em lados diferentes da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . Temos:
Podemos dividir ambos os lados por e multiplicar por para isolar os termos:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de é , e a integral de pode ser resolvida usando uma substituição simples:
Integrando:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos resolver para . Primeiro, eliminamos o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Isso pode ser simplificado usando propriedades dos logaritmos e exponenciais:
Como é apenas uma constante, podemos chamá-la de :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante real.

Exercícios relacionados