Resolva:
,
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a equação diferencial
para o intervalo
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a isolar as variáveis
e
em lados diferentes da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. Temos:
Podemos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
para isolar os termos:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
é
, e a integral de
pode ser resolvida usando uma substituição simples:
Integrando:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, eliminamos o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Isso pode ser simplificado usando propriedades dos logaritmos e exponenciais:
Como
é apenas uma constante, podemos chamá-la de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real.