Resolva:
,
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a equação diferencial
para o intervalo
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a isolar as variáveis
e
em lados diferentes da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. Temos:
Podemos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
para isolar os termos:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
é
, e a integral de
pode ser resolvida usando uma substituição simples:
Integrando:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, eliminamos o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Isso pode ser simplificado usando propriedades dos logaritmos e exponenciais:
Como
é apenas uma constante, podemos chamá-la de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro:
Prove ou dê um contra-exemplo para cada uma das afirmações abaixo: © Se
e
são convergentes, então
converge.
Nos problemas de 1 a 8, resolva as equações diferenciais dadas:
Uma partícula de massa
desloca-se sobre o eixo
sob a ação da força elástica
e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade e dada por
. Determine a posição de
, da partícula no instante
e discuta o movimento, supondo que:
e
.