Uma particula move-se ao longo do eixo x. Sua coordenada x varia com o tempo de acordo com a expressão x(t)=-4 t+2 t^2, na qual x está em metros e t em segundos. (a) Determine o deslocamento da particula nos intervalos de tempo de t=0 até t=1 s e de t=1 s até t=3 s. (b) Calcule a velocidade média nos intervalos de tempo de t=0 até t=1 s e de t=1 s até t=3 s.© Encontre a velocidade instantannea da particula em t=2,5 s. (d) Encontre a aceleração média da particula no intervalo de t=1 saté t=3 s. (e) Represente o movimento da particula em um gráfico (x times t).
Resposta: (a) De; (b) vm=-2 m / s ; vm=4 m / s; © v=6 m / s;
(d) am=4 m / s^2 ; a=4 m / s^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula ao longo do eixo , com a posição dela variando no tempo segundo a fórmula . Isso está relacionado ao cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento sem se preocupar com suas causas. Para resolver as partes (a) a (d) do exercício, vamos precisar entender conceitos como deslocamento, velocidade média, velocidade instantânea e aceleração média.

Passo 2

Parte (a): Determinar o deslocamento da partícula nos intervalos de tempo de De até s e de s até s.
Primeiro, deslocamento é a diferença entre a posição final e a inicial da partícula em um determinado intervalo de tempo. A fórmula é:
Vamos calcular para cada intervalo.

Passo 3

Intervalo de x(1) = -4(1) + 2(1)^2 = -4 + 2 = -2 , m s até x(0) = -4(0) + 2(0)^2 = 0 , m s:
Calculamos De e :
Então, o deslocamento é:

Passo 4

Intervalo de x(3) = -4(3) + 2(3)^2 = -12 + 18 = 6 , m s até x(1) = -2 , m (já calculado anteriormente) s:
Calculamos De e :
á
Então, o deslocamento é:

Passo 5

Parte (b): Calcular a velocidade média nos mesmos intervalos de tempo.
A velocidade média ( vm = De) é o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo. A fórmula é:
Vamos aplicar isso a cada intervalo.

Passo 6

Intervalo de De s até vm = -2 , m1 , s = -2 , m/s s:
De
vm = 8 , m2 , s = 4 , m/s
Intervalo de s até s:

Passo 7

Parte ©: Encontrar a velocidade instantânea da partícula em x(t) = -4t + 2t^2 s.
A velocidade instantânea ( v(t) = dxdt = -4 + 4t ) é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar v(2,5) = -4 + 4(2,5) = -4 + 10 = 6 , m/s :
Agora, substituímos s:

Passo 8

Parte (d): Encontrar a aceleração média da partícula no intervalo de am = v(t2) - v(t1)De s até s.
A aceleração média ( ) é a variação da velocidade dividida pela variação de tempo. A fórmula é:
Primeiro, precisamos encontrar e usando a expressão da velocidade .

Passo 9

Calculando as velocidades:
v(1) = -4 + 4(1) = 0 , m/s
v(3) = -4 + 4(3) = -4 + 12 = 8 , m/s
Agora, calculamos a aceleração média:
De
De
am = 8 , m/s2 , s = 4 , m/s^2

Resposta

(a)
(b)
©
(d)

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