Uma partícula de massa m e energia total zero se encontra em uma região do espaço na qual a função de onda é psi(x)=C exp (-x^2 / L^2). (a) Determine a energia potencial V(x) da partícula em função de x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula com massa e energia total zero, e a função de onda dela é . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a energia potencial dessa partícula em função de . Para resolver isso, vamos usar a equação de Schrödinger independente do tempo, que relaciona a energia total, a energia cinética e a energia potencial da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação de Schrödinger para uma dimensão, que é:
-hbar^22m d^2psidx^2 + V(x)psi(x) = Epsi(x)
Como a energia total -hbar^22m d^2psidx^2 + V(x)psi(x) = 0 é zero ( V(x) = hbar^22m d^2psidx^2 div psi(x) ), podemos simplificar a equação para:
Nosso objetivo é isolar , então vamos reorganizar a equação:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada da função de onda dpsidx = C cdot (-2xL^2) exp(-x^2L^2) = -2CxL^2 exp(-x^2L^2) . Primeiro, encontramos a primeira derivada:
d^2psidx^2 = ddx(-2CxL^2 exp(-x^2L^2))
Agora, a segunda derivada:
d^2psidx^2 = -2CL^2 exp(-x^2L^2) + 4C x^2L^4 exp(-x^2L^2)
Aplicando a regra do produto:
d^2psidx^2 = ( 4x^2L^4 - 2L^2 ) C exp(-x^2L^2)
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos V(x) = hbar^22m cdot 4x^2L^4 - 2L^21 , podemos substituir na fórmula para :
Aqui, dividimos pelo próprio que é , mas como está presente no numerador e no denominador, ela cancela, deixando apenas os termos que multiplicam.

Passo 5

Simplificando a expressão para V(x) = hbar^22m ( 4x^2L^4 - 2L^2 ) :
V(x) = hbar^22m cdot 2L^2 ( 2x^2L^2 - 1 ) = hbar^2m L^2 ( 2x^2L^2 - 1 )
Podemos fatorar o termo comum :

Resposta

A energia potencial da partícula em função de V(x) = hbar^2m L^2 ( 2x^2L^2 - 1 ) é:

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