Uma partícula de massa
e energia total zero se encontra em uma região do espaço na qual a função de onda é
. (a) Determine a energia potencial
da partícula em função de
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula com massa
e energia total zero, e a função de onda dela é
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a energia potencial
dessa partícula em função de
. Para resolver isso, vamos usar a equação de Schrödinger independente do tempo, que relaciona a energia total, a energia cinética e a energia potencial da partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação de Schrödinger para uma dimensão, que é:
Como a energia total
é zero (
), podemos simplificar a equação para:
Nosso objetivo é isolar
, então vamos reorganizar a equação:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada da função de onda
. Primeiro, encontramos a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos
, podemos substituir na fórmula para
:
Aqui, dividimos pelo próprio
que é
, mas como
está presente no numerador e no denominador, ela cancela, deixando apenas os termos que multiplicam.
Passo 5
Simplificando a expressão para
:
Podemos fatorar o termo comum
:
Resposta
A energia potencial da partícula em função de
é: