Uma partícula de massa m=5 kg segue uma trajetória no espaço tridimensional dada por r(t)=i+j+(t^2 / 2) k. Podemos dizer que o torque correspondente é:
a) 5(i-k),
b) 5(i+k)
c) 5(i-j)
d) 5 j
e) 5 k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula com massa de 5 kg que se move no espaço tridimensional seguindo uma trajetória específica dada pela função posição . O conteúdo que vamos usar aqui envolve mecânica clássica, especificamente conceitos de força, aceleração e torque. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular a força resultante e, a partir dela, determinar o torque usando o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t) = dr(t)dt = ddt(i + j + t^22 k) = 0i + 0j + tk
Então, a velocidade é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração, que é a derivada da velocidade:
a(t) = dv(t)dt = ddt(tk) = 0i + 0j + 1k
Portanto, a aceleração é .

Passo 4

Com a aceleração, podemos determinar a força que atua na partícula usando a segunda lei de Newton:
F = m a = 5,kg times k = 5k,N
Então, a força é .

Passo 5

Agora, vamos calcular o torque ( tau = r times F = (i + j + t^22k) times 5k ). O torque é dado pelo produto vetorial entre a posição tau = 5(-j + i + 0) = 5i - 5j e a força :
Vamos calcular cada parte do produto vetorial:
Então:

Resposta

A alternativa correta é a c) .

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