Uma partícula de massa M é lançada a partir do solo. Encontre o ângulo que a partícula é lança de modo a ter o maior altura máxima?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema pede. Temos uma partícula de massa M sendo lançada do chão, e a gente precisa descobrir qual é o melhor ângulo de lançamento para que ela alcance a maior altura possível. Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos de cinemática de projéteis, mais especificamente, como o ângulo de lançamento influencia na altura máxima que a partícula pode atingir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando lançamos um projétil, sua velocidade inicial ( ) se divide em duas componentes: horizontal ( ) e vertical ( ). Essas componentes são dadas pelas fórmulas:
Onde theta é o ângulo de lançamento.

Passo 3

A altura máxima ( ) que a partícula alcança depende apenas da componente vertical da velocidade inicial e da aceleração da gravidade ( g). A fórmula para a altura máxima é:
Então, nosso objetivo é encontrar o valor de theta que maximiza .

Passo 4

Para maximizar , precisamos maximizar a expressão . Sabemos que o seno de um ângulo varia entre 0 e 1, e atinge seu valor máximo quando . Isso acontece quando:

Passo 5

Portanto, para que a partícula atinja a maior altura possível, ela deve ser lançada verticalmente para cima, ou seja, com um ângulo de em relação ao solo.

Resposta

O ângulo que maximiza a altura máxima é .

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