A posição de uma partícula é dada como função do tempo por s(t) = 1 - 3t + t^2 + 3t^3 de modo unidimensional.
(e) Em que instantes de tempo a partícula muda de sentido?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a posição de uma partícula em função do tempo dada por . O que a gente precisa descobrir é em quais instantes de tempo essa partícula muda de sentido. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a velocidade da partícula e ver quando ela muda de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a partícula mudar de sentido. Isso acontece quando a velocidade dela muda de positiva para negativa ou vice-versa. Ou seja, a velocidade passa por zero. Então, nossa primeira tarefa é encontrar a função velocidade .

Passo 3

A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos calcular essa derivada:
Calculando termo a termo:
Então, a função velocidade é .

Passo 4

Agora precisamos encontrar os instantes de tempo em que a velocidade é zero, ou seja, resolver a equação:
Essa é uma equação quadrática do tipo , onde , e . Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos calcular os valores aproximados dessas raízes:
  1. Para :
  1. Para :
Como o tempo não pode ser negativo nesse contexto, descartamos a segunda solução.

Passo 6

Para confirmar que realmente ocorre uma mudança de sentido nesse instante, podemos analisar a velocidade antes e depois de segundos:
  • Para : escolhemos, por exemplo, :
  • Para : escolhemos, por exemplo, :
Como a velocidade passa de negativa para positiva, isso confirma que a partícula muda de sentido nesse instante.

Resposta

A partícula muda de sentido aproximadamente aos segundos.

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