A posição de uma partícula é dada como função do tempo por
de modo unidimensional.
(e) Em que instantes de tempo a partícula muda de sentido?
(e) Em que instantes de tempo a partícula muda de sentido?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a posição de uma partícula em função do tempo dada por
. O que a gente precisa descobrir é em quais instantes de tempo essa partícula muda de sentido. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a velocidade da partícula e ver quando ela muda de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a partícula mudar de sentido. Isso acontece quando a velocidade dela muda de positiva para negativa ou vice-versa. Ou seja, a velocidade passa por zero. Então, nossa primeira tarefa é encontrar a função velocidade
.
Passo 3
A velocidade
é a derivada da posição
em relação ao tempo. Vamos calcular essa derivada:
Calculando termo a termo:
Então, a função velocidade é
.
Passo 4
Agora precisamos encontrar os instantes de tempo
em que a velocidade é zero, ou seja, resolver a equação:
Essa é uma equação quadrática do tipo
, onde
,
e
. Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos calcular os valores aproximados dessas raízes:
- Para
:
- Para
:
Como o tempo não pode ser negativo nesse contexto, descartamos a segunda solução.
Passo 6
Para confirmar que realmente ocorre uma mudança de sentido nesse instante, podemos analisar a velocidade antes e depois de
segundos:
-
Para
: escolhemos, por exemplo, : -
Para
: escolhemos, por exemplo, :
Como a velocidade passa de negativa para positiva, isso confirma que a partícula muda de sentido nesse instante.
Resposta
A partícula muda de sentido aproximadamente aos
segundos.