Uma partícula de massa se move em um anel de raio no qual o potencial é constante. (i) Encontre as energias e funções próprias permitidas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa que está se movendo em um anel de raio , onde o potencial é constante. Isso tá relacionado à Mecânica Quântica, mais especificamente ao estudo de partículas confinadas em espaços limitados. O que precisamos fazer aqui é encontrar as energias permitidas que essa partícula pode ter e as funções próprias (ou funções de onda) correspondentes a essas energias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na Mecânica Quântica, a energia das partículas e suas funções de onda são determinadas resolvendo a Equação de Schrödinger. Como o potencial é constante no anel, ele pode ser considerado zero para simplificar (já que só diferenças de potencial importam). Então, a equação que vamos resolver é:
Aqui, é a função de onda que depende do ângulo ao redor do anel, é a constante de Planck reduzida, e é a energia da partícula.

Passo 3

A solução dessa equação diferencial é uma combinação de funções exponenciais complexas. Porém, como a partícula está em um anel, a função de onda deve ser periódica, ou seja, . Isso impõe que os valores de sejam quantizados. Assim, assumimos soluções do tipo:
Onde é um número inteiro (positivo ou negativo). Essa quantização garante que a função de onda seja a mesma após dar uma volta completa no anel.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as energias associadas a essas funções de onda. Substituindo na equação de Schrödinger, temos:
Calculando a derivada:
Simplificando:

Resposta

Então, as energias permitidas são e as funções próprias correspondentes são , onde é qualquer número inteiro ( ).

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