Uma partícula de massa
se move em um anel de raio
no qual o potencial é constante. (i) Encontre as energias e funções próprias permitidas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa
que está se movendo em um anel de raio
, onde o potencial é constante. Isso tá relacionado à Mecânica Quântica, mais especificamente ao estudo de partículas confinadas em espaços limitados. O que precisamos fazer aqui é encontrar as energias permitidas que essa partícula pode ter e as funções próprias (ou funções de onda) correspondentes a essas energias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na Mecânica Quântica, a energia das partículas e suas funções de onda são determinadas resolvendo a Equação de Schrödinger. Como o potencial é constante no anel, ele pode ser considerado zero para simplificar (já que só diferenças de potencial importam). Então, a equação que vamos resolver é:
Aqui,
é a função de onda que depende do ângulo
ao redor do anel,
é a constante de Planck reduzida, e
é a energia da partícula.
Passo 3
A solução dessa equação diferencial é uma combinação de funções exponenciais complexas. Porém, como a partícula está em um anel, a função de onda deve ser periódica, ou seja,
. Isso impõe que os valores de
sejam quantizados. Assim, assumimos soluções do tipo:
Onde
é um número inteiro (positivo ou negativo). Essa quantização garante que a função de onda seja a mesma após dar uma volta completa no anel.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as energias associadas a essas funções de onda. Substituindo
na equação de Schrödinger, temos:
Calculando a derivada:
Simplificando:
Resposta
Então, as energias permitidas são
e as funções próprias correspondentes são
, onde
é qualquer número inteiro (
).