No produto , faça ,
Determine B, na notação dos vetores unitários, para .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação , onde é a força, a carga, a velocidade e o campo magnético. Aqui, o valor de é 1. A gente precisa determinar o vetor usando as notações dos vetores unitários, sabendo que as componentes e são iguais. Para isso, vamos precisar saber como funciona o produto vetorial e como representar vetores usando as unidades , e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial entre dois vetores e resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois. A fórmula geral do produto vetorial é:
Isso significa que cada componente de depende das componentes de e .
Passo 3
Como F = v times B , a equação fica:
B = Bx i + By j + Bz k
Estamos querendo encontrar B = Bx i + By (j + k) sabendo que . Vamos representar usando os vetores unitários:
E, como , podemos escrever:
Passo 4
Agora, precisamos expressar F = i & j & k vx & vy & vz Bx & By & Bz = (vy Bz - vz By) i + (vz Bx - vx Bz) j + (vx By - vy Bx) k em termos de e . Vamos supor que sabemos as componentes de e . Por exemplo, se , então o produto vetorial é:
Passo 5
Substituindo F = (vy By - vz By) i + (vz Bx - vx By) j + (vx By - vy Bx) k na expressão acima, temos:
F = By (vy - vz) i + (vz Bx - vx By) j + (vx By - vy Bx) k
Podemos simplificar:
Passo 6
Para determinar Fx = By (vy - vz) , precisamos resolver esse sistema de equações. Vamos supor que conhecemos as componentes de Fy = vz Bx - vx By e Fz = vx By - vy Bx . Por exemplo, se e são conhecidos, podemos isolar e usando as equações:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações, primeiramente isolamos Fy = vz Bx - vx By Rightarrow Bx = Fy + vx Byvz da segunda e terceira equações. Podemos reescrever:
Fz = vx By - vy Bx Rightarrow Bx = vx By - Fzvy
Fy + vx Byvz = vx By - Fzvy
Igualando as duas expressões para :
Passo 8
Resolvendo para (Fy + vx By) vy = (vx By - Fz) vz :
Fy vy + vx vy By = vx vz By - Fz vz
Fy vy + Fz vz = vx vz By - vx vy By
Fy vy + Fz vz = vx (vz - vy) By
By = Fy vy + Fz vzvx (vz - vy)
Passo 9
Com Bx = Fy + vx Byvz encontrado, podemos substituir de volta para encontrar Bx = Fy + vx ( Fy vy + Fz vzvx (vz - vy) )vz :