No produto F=q v times B, faça q=1,
Determine B, na notação dos vetores unitários, para B y=B z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação , onde é a força, a carga, a velocidade e o campo magnético. Aqui, o valor de é 1. A gente precisa determinar o vetor usando as notações dos vetores unitários, sabendo que as componentes e são iguais. Para isso, vamos precisar saber como funciona o produto vetorial e como representar vetores usando as unidades , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial entre dois vetores v times B = i & j & k vx & vy & vz Bx & By & Bz e resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois. A fórmula geral do produto vetorial é:
Isso significa que cada componente de depende das componentes de e .

Passo 3

Como F = v times B , a equação fica:
B = Bx i + By j + Bz k
Estamos querendo encontrar B = Bx i + By (j + k) sabendo que . Vamos representar usando os vetores unitários:
E, como , podemos escrever:

Passo 4

Agora, precisamos expressar F = i & j & k vx & vy & vz Bx & By & Bz = (vy Bz - vz By) i + (vz Bx - vx Bz) j + (vx By - vy Bx) k em termos de e . Vamos supor que sabemos as componentes de e . Por exemplo, se , então o produto vetorial é:

Passo 5

Substituindo F = (vy By - vz By) i + (vz Bx - vx By) j + (vx By - vy Bx) k na expressão acima, temos:
F = By (vy - vz) i + (vz Bx - vx By) j + (vx By - vy Bx) k
Podemos simplificar:

Passo 6

Para determinar Fx = By (vy - vz) , precisamos resolver esse sistema de equações. Vamos supor que conhecemos as componentes de Fy = vz Bx - vx By e Fz = vx By - vy Bx . Por exemplo, se e são conhecidos, podemos isolar e usando as equações:

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações, primeiramente isolamos Fy = vz Bx - vx By Rightarrow Bx = Fy + vx Byvz da segunda e terceira equações. Podemos reescrever:
Fz = vx By - vy Bx Rightarrow Bx = vx By - Fzvy
Fy + vx Byvz = vx By - Fzvy
Igualando as duas expressões para :

Passo 8

Resolvendo para (Fy + vx By) vy = (vx By - Fz) vz :
Fy vy + vx vy By = vx vz By - Fz vz
Fy vy + Fz vz = vx vz By - vx vy By
Fy vy + Fz vz = vx (vz - vy) By
By = Fy vy + Fz vzvx (vz - vy)

Passo 9

Com Bx = Fy + vx Byvz encontrado, podemos substituir de volta para encontrar Bx = Fy + vx ( Fy vy + Fz vzvx (vz - vy) )vz :
Bx = Fy (vz - vy) + Fy vy + Fz vzvz (vz - vy)
Substituindo Bx = Fy vz - Fy vy + Fy vy + Fz vzvz (vz - vy) :
Bx = Fy vz + Fz vzvz (vz - vy) = Fy + Fzvz - vy

Passo 10

Então, temos B = ( Fy + Fzvz - vy ) i + ( Fy vy + Fz vzvx (vz - vy) ) (j + k) e , e como , podemos escrever o vetor completo:

Resposta

O vetor B = ( Fy + Fzvz - vy ) i + ( Fy vy + Fz vzvx (vz - vy) ) j + ( Fy vy + Fz vzvx (vz - vy) ) k na notação dos vetores unitários é:

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