Uma partícula de massa m move-se sob a ação de uma força central com energia potencial
$$
V=\frac{1}{2} k r^{2}$$
como em um oscilador harmônico isotrópico. Considere que o momento angular da partícula em relação à origem é V=12 k r^2.
a) Calcule o potencial efetivo. Esboce os gráficos. Analise os seguintes casos: i) L e k>0; ii) L neq 0 e k>0; iii) L=0 e k<0; iv) L neq 0 e k<0. Para qual desses casos pode ocorrer um movimento com órbita fechada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma partícula de massa se movendo sob a ação de uma força central com uma energia potencial dada por , que é similar a um oscilador harmônico isotrópico. Além disso, o momento angular da partícula em relação à origem é . Nosso objetivo aqui é calcular o potencial efetivo, desenhar os gráficos e analisar quatro casos diferentes para ver em quais situações a partícula pode ter uma órbita fechada.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o potencial efetivo. Em mecânica clássica, quando lidamos com movimentos sob forças centrais, é útil considerar não apenas a energia potencial da força central, mas também a energia associada ao movimento angular da partícula. Esse conjunto é chamado de potencial efetivo.
A fórmula geral para o potencial efetivo Vefetivo(r) = V(r) + L^22 m r^2 é:
Aqui, é a energia potencial original, é o momento angular, é a massa da partícula e é a distância da partícula à origem.

Passo 3

Vamos substituir V(r) = 12 k r^2 pela expressão dada no enunciado:
Vefetivo(r) = 12 k r^2 + L^22 m r^2
Então, o potencial efetivo fica:
Essa expressão combina a energia potencial do oscilador harmônico com a energia associada ao movimento angular.

Passo 4

Agora, vamos analisar os quatro casos propostos:
  1. i) e
  2. ii) e
  3. iii) e
  4. iv) e
Vamos ver como o potencial efetivo se comporta em cada caso e se podem ocorrer órbitas fechadas.

Passo 5

Caso i) Vefetivo(r) = 12 k r^2 + L^22 m r^2 e Vefetivo(r) = 12 k r^2

  • Sinal de Vefetivo(r) = 12 k r^2 + L^22 m r^2 : Positivo, o que significa que o potencial Vefetivo(r) = 12 k r^2 é retentor, ou seja, atrai a partícula de volta à origem.
  • Momento Angular : Não nulo, o que adiciona um termo repulsivo ao potencial efetivo.
Comportamento do Potencial Efetivo:
Esse potencial tem um mínimo onde a partícula pode oscilar, levando a órbitas estáveis e fechadas.

Caso ii) e

  • Sinal de : Positivo.
  • Momento Angular : Zero, eliminando o termo repulsivo.
Comportamento do Potencial Efetivo:
Esse é apenas o potencial do oscilador harmônico, que também permite órbitas fechadas, mas sem a barreira repulsiva causada pelo momento angular.

Caso iii) e

  • Sinal de : Negativo, o que torna o potencial afastador.
  • Momento Angular : Não nulo, adicionando o termo repulsivo.
Comportamento do Potencial Efetivo:
Aqui, o termo afastador pode superar o termo repulsivo dependendo dos valores de e , levando a órbitas não fechadas ou instáveis.

Caso iv) e

  • Sinal de : Negativo.
  • Momento Angular : Zero.
Comportamento do Potencial Efetivo:
Neste caso, o potencial é puramente afastador, o que não favorece órbitas fechadas, pois a partícula tende a se afastar indefinidamente.

Passo 6

Resumo das Análises:
  • Casos i) e ii) ( ) apresentam potenciais efetivos que combinam termos atrativos e repousivos, permitindo órbitas fechadas e estáveis.
  • Casos iii) e iv) ( ) têm potenciais que tendem a afastar a partícula, não favorecendo órbitas fechadas.

Resposta

Apenas nos casos i) e e ii) e podem ocorrer movimentos com órbitas fechadas.

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