Uma partícula de massa
move-se sob a ação de uma força central com energia potencial
$$
V=\frac{1}{2} k r^{2}$$
como em um oscilador harmônico isotrópico. Considere que o momento angular da partícula em relação à origem é
.
a) Calcule o potencial efetivo. Esboce os gráficos. Analise os seguintes casos: i)
e
; ii)
e
; iii)
e
; iv)
e
. Para qual desses casos pode ocorrer um movimento com órbita fechada?
como em um oscilador harmônico isotrópico. Considere que o momento angular da partícula em relação à origem é
a) Calcule o potencial efetivo. Esboce os gráficos. Analise os seguintes casos: i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma partícula de massa
se movendo sob a ação de uma força central com uma energia potencial dada por
, que é similar a um oscilador harmônico isotrópico. Além disso, o momento angular da partícula em relação à origem é
. Nosso objetivo aqui é calcular o potencial efetivo, desenhar os gráficos e analisar quatro casos diferentes para ver em quais situações a partícula pode ter uma órbita fechada.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o potencial efetivo. Em mecânica clássica, quando lidamos com movimentos sob forças centrais, é útil considerar não apenas a energia potencial da força central, mas também a energia associada ao movimento angular da partícula. Esse conjunto é chamado de potencial efetivo.
A fórmula geral para o potencial efetivo
é:
Aqui,
é a energia potencial original,
é o momento angular,
é a massa da partícula e
é a distância da partícula à origem.
Passo 3
Vamos substituir
pela expressão dada no enunciado:
Então, o potencial efetivo fica:
Essa expressão combina a energia potencial do oscilador harmônico com a energia associada ao movimento angular.
Passo 4
Agora, vamos analisar os quatro casos propostos:
- i)
e - ii)
e - iii)
e - iv)
e
Vamos ver como o potencial efetivo se comporta em cada caso e se podem ocorrer órbitas fechadas.
Passo 5
Caso i)
e
- Sinal de
: Positivo, o que significa que o potencial é retentor, ou seja, atrai a partícula de volta à origem. - Momento Angular
: Não nulo, o que adiciona um termo repulsivo ao potencial efetivo.
Comportamento do Potencial Efetivo:
Esse potencial tem um mínimo onde a partícula pode oscilar, levando a órbitas estáveis e fechadas.
Caso ii)
e
- Sinal de
: Positivo. - Momento Angular
: Zero, eliminando o termo repulsivo.
Comportamento do Potencial Efetivo:
Esse é apenas o potencial do oscilador harmônico, que também permite órbitas fechadas, mas sem a barreira repulsiva causada pelo momento angular.
Caso iii)
e
- Sinal de
: Negativo, o que torna o potencial afastador. - Momento Angular
: Não nulo, adicionando o termo repulsivo.
Comportamento do Potencial Efetivo:
Aqui, o termo afastador pode superar o termo repulsivo dependendo dos valores de
e
, levando a órbitas não fechadas ou instáveis.
Caso iv)
e
- Sinal de
: Negativo. - Momento Angular
: Zero.
Comportamento do Potencial Efetivo:
Neste caso, o potencial é puramente afastador, o que não favorece órbitas fechadas, pois a partícula tende a se afastar indefinidamente.
Passo 6
Resumo das Análises:
- Casos i) e ii) (
) apresentam potenciais efetivos que combinam termos atrativos e repousivos, permitindo órbitas fechadas e estáveis. - Casos iii) e iv) (
) têm potenciais que tendem a afastar a partícula, não favorecendo órbitas fechadas.
Resposta
Apenas nos casos i)
e
e ii)
e
podem ocorrer movimentos com órbitas fechadas.