Qual seria a altura da atmosfera se a massa específica do ar (a) fosse uniforme e (b) diminuísse linearmente até zero com a altura? Suponha que ao nível do mar a pressão do ar é 1,0 atm e a massa específica do ar é 1,3 kg / m^3. Resposta (a) 7,9 k m; (b) 1 6 k m

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pergunta sobre a altura da atmosfera em duas situações diferentes. A matéria que vamos usar aqui é hidrostática atmosférica, que estuda como a pressão e a densidade do ar variam com a altura. Para resolver, vamos precisar da fórmula que relaciona pressão, densidade e altura na atmosfera.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter a massa específica do ar (ou densidade do ar) uniforme. Isso quer dizer que a densidade do ar não muda conforme a gente sobe na atmosfera. Então, vamos usar a fórmula da pressão no ar em equilíbrio hidrostático:
P = rho cdot g cdot h
Onde:
  • é a pressão ao nível do mar (1 atm),
  • é a densidade do ar (1,3 kg/m³),
  • é a aceleração da gravidade (~9,8 m/s²),
  • é a altura da atmosfera que queremos encontrar.

Passo 3

Precisamos primeiro converter a pressão de atmosfera para unidades compatíveis. Sabemos que:
1 atm = 101325 Pa
Então, .

Passo 4

Agora, vamos isolar h = Prho cdot g na fórmula:
h = 1013251,3 times 9,8
Substituindo os valores:

Passo 5

Fazendo as contas:
h = 10132512,74 approx 7950 m
Ou seja, aproximadamente 7,95 km. Arredondando, temos 7,9 km.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b), onde a massa específica do ar diminui linearmente até zero com a altura. Isso significa que a densidade do ar diminui de forma proporcional à altura.
Para essa situação, a relação entre pressão e altura fica um pouco diferente. A pressão total é a integral da densidade vezes gravidade sobre a altura:
P = integral0^h rho(y) cdot g , dy
Como a densidade diminui linearmente, podemos escrever:
rho(y) = rho0 (1 - yh)
Onde ³ é a densidade no nível do mar.

Passo 7

Substituindo na integral:
P = integral0^h rho0 (1 - yh) g , dy
Resolvendo a integral:
P = rho0 g [ y - y^22h ]0^h = rho0 g ( h - h^22h ) = rho0 g ( h2 ) = rho0 g h2

Passo 8

Isolando h = 2Prho0 g :
h = 2 times 1013251,3 times 9,8 = 20265012,74 approx 15900 m
Substituindo os valores:
Ou seja, aproximadamente 15,9 km. Arredondando, temos 16 km.

Resposta

A altura da atmosfera seria aproximadamente 16 km se a massa específica do ar diminuísse linearmente até zero com a altura.

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