Qual seria a altura da atmosfera se a massa específica do ar (a) fosse uniforme e (b) diminuísse linearmente até zero com a altura? Suponha que ao nível do mar a pressão do ar é
e a massa específica do ar é
. Resposta (a)
; (b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pergunta sobre a altura da atmosfera em duas situações diferentes. A matéria que vamos usar aqui é hidrostática atmosférica, que estuda como a pressão e a densidade do ar variam com a altura. Para resolver, vamos precisar da fórmula que relaciona pressão, densidade e altura na atmosfera.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter a massa específica do ar (ou densidade do ar) uniforme. Isso quer dizer que a densidade do ar não muda conforme a gente sobe na atmosfera. Então, vamos usar a fórmula da pressão no ar em equilíbrio hidrostático:
Onde:
-
é a pressão ao nível do mar (1 atm), -
é a densidade do ar (1,3 kg/m³), -
é a aceleração da gravidade (~9,8 m/s²), -
é a altura da atmosfera que queremos encontrar.
Passo 3
Precisamos primeiro converter a pressão de atmosfera para unidades compatíveis. Sabemos que:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos isolar
na fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 5
Fazendo as contas:
Ou seja, aproximadamente 7,95 km. Arredondando, temos 7,9 km.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b), onde a massa específica do ar diminui linearmente até zero com a altura. Isso significa que a densidade do ar diminui de forma proporcional à altura.
Para essa situação, a relação entre pressão e altura fica um pouco diferente. A pressão total é a integral da densidade vezes gravidade sobre a altura:
Como a densidade diminui linearmente, podemos escrever:
Onde
é a densidade no nível do mar.
Passo 7
Substituindo na integral:
Resolvendo a integral:
Passo 8
Isolando
:
Substituindo os valores:
Ou seja, aproximadamente 15,9 km. Arredondando, temos 16 km.
Resposta
A altura da atmosfera seria aproximadamente 16 km se a massa específica do ar diminuísse linearmente até zero com a altura.