Uma partícula de massa
move-se sob a ação de uma força central com energia potencial
$$
V=k r^{4}$$
com
e momento angular
.
b) Determine o raio
da órbita circular.
com
b) Determine o raio
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que uma partícula de massa
está se movendo sob a ação de uma força central com uma energia potencial dada por
, onde
. Além disso, a partícula tem um momento angular
. A gente precisa encontrar o raio
da órbita circular dessa partícula. Para resolver isso, vamos precisar entender como as forças se equilibram numa órbita circular e usar um pouco de cálculo para encontrar esse raio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, numa órbita circular, a força central que mantém a partícula na trajetória deve equilibrar a força centrífuga resultante do movimento circular. A força central
pode ser obtida a partir da energia potencial
usando a relação:
No nosso caso,
, então:
Essa é a força que está puxando a partícula para o centro.
Passo 3
Agora, a força centrífuga
que tenta empurrar a partícula para fora da trajetória circular é dada por:
Aqui,
é o momento angular da partícula,
é a massa e
é o raio da órbita.
Passo 4
Para que a órbita seja circular e estável, essas duas forças devem se equilibrar. Ou seja:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, vamos isolar os termos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, isolamos
:
Passo 6
Para encontrar
, tiramos a raiz sexta de ambos os lados:
Resposta
O raio da órbita circular é: