Uma partícula de massa m move-se sob a ação de uma força central com energia potencial
$$
V=k r^{4}$$
com V=k r^4 e momento angular k>0.
b) Determine o raio L da órbita circular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que uma partícula de massa está se movendo sob a ação de uma força central com uma energia potencial dada por , onde . Além disso, a partícula tem um momento angular . A gente precisa encontrar o raio da órbita circular dessa partícula. Para resolver isso, vamos precisar entender como as forças se equilibram numa órbita circular e usar um pouco de cálculo para encontrar esse raio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, numa órbita circular, a força central que mantém a partícula na trajetória deve equilibrar a força centrífuga resultante do movimento circular. A força central F(r) = -dVdr pode ser obtida a partir da energia potencial F(r) = -ddr(k r^4) = -4 k r^3 usando a relação:
No nosso caso, , então:
Essa é a força que está puxando a partícula para o centro.

Passo 3

Agora, a força centrífuga Fcentrífuga = L^2m r^3 í que tenta empurrar a partícula para fora da trajetória circular é dada por:
í
Aqui, é o momento angular da partícula, é a massa e é o raio da órbita.

Passo 4

Para que a órbita seja circular e estável, essas duas forças devem se equilibrar. Ou seja:
F(r) + Fcentrífuga = 0 í
Substituindo as expressões que encontramos:
-4 k r^3 + L^2m r^3 = 0

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar -4 k r^3 + L^2m r^3 = 0 implies 4 k r^3 = L^2m r^3 . Primeiro, vamos isolar os termos:
4 k r^6 = L^2m
Multiplicando ambos os lados por r^6 = L^24 k m :
Agora, isolamos :

Passo 6

Para encontrar r0 = ( L^24 k m )^16 , tiramos a raiz sexta de ambos os lados:

Resposta

O raio da órbita circular é:
r0 = ( L^24 k m )^16

Exercícios relacionados